求解极限limₓ→₀ (tanx - sinx)/x³的疑问（未学洛必达法则与泰勒展开）

嘿，你的拆分思路完全没问题！其实中间那个让你头疼的$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$，用中学阶段学过的三角恒等式就能解决，根本不需要洛必达或者泰勒展开～

我们一步步来处理这个中间项：

• 先回忆课堂上学过的二倍角公式：$1-\cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
• 把这个恒等式代入中间极限：
  $$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2\left(\frac{x}{2}\right)}{x}2}$$
• 做个简单的变量替换：令$t = \frac{x}{2}$，当$x \to 0$时，$t$也会趋近于0，此时$x = 2t$，代入后式子变成：
  $$=\lim_{t \to 0}\frac{2\sin^2 t}{(2t)^2} = \lim_{t \to 0}\frac{2\sin^2 t}{4t^2} = \frac{1}{2}\lim_{t \to 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2$$
• 你肯定已经掌握了$\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1$这个重要极限，所以代入后就能得到：
  $$\frac{1}{2} \times 1^2 = \frac{1}{2}$$

现在把三个拆分后的极限结果合起来：

• 第一个极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，第三个极限$\lim_{x \to 0}\sec x = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$（因为$\cos 0 = 1$，余弦函数在0点连续）
• 所以整个原式的极限就是：$1 \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

这样就完全用中学课堂内的知识解决了，是不是很顺畅？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harikrishnan M