求解数列极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^4+n2^n+7}{n^4+3^n+1}$的方法咨询

我现在遇到了一个数列极限的问题，想要求解$L=\lim_{n\to\infty}\frac{n⁴⁺ⁿ²n+7}{n⁴⁺³n+1}$，自己尝试了两种方法但都陷入了未定式：

第一种尝试：
$$L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4\left(1+\frac{2}n}{n^{3}+\frac{7}{n}4}\right)}{n^{4\left(1+\frac{3}n}{n^{4}+\frac{1}{n}4}\right)}$$
但这样还是$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$的未定式，没法直接计算。

第二种尝试：
$$L=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n\left(\frac{n}4}{2^{n}+n+\frac{7}{2}n}\right)}{3^{n\left(\frac{n}4}{3^{n}+1+\frac{1}{3}n}\right)}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^nn$$
结果又变成了$[0\cdot\infty]$的未定式，不知道接下来该怎么做了，有没有大佬能指点一下？

嗨，其实你已经离正确答案很近啦！关键是要记住指数函数的增长速度远远快于多项式函数，而且底数更大的指数函数增长得比底数小的快得多。我们可以换一种拆分方式，把分子分母都除以增长最快的那个项——也就是$3^n$，看看：

$$
\begin{align*}
L&=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^4}{3n}+\frac{n2^n}{3n}+\frac{7}{3^n}}{\frac{n4}{3^{n}+1+\frac{1}{3}n}}\
\end{align*}
$$

现在我们来逐个分析每一项的极限：

• 对于$\frac{n^4}{3n}$：根据洛必达法则或者已知结论，任何多项式函数除以底数大于1的指数函数，当$n\to\infty$时极限都是0，因为指数增长的速度远远超过多项式。
• 对于$\frac{n2^n}{3n}=n\left(\frac{2}{3}\right)^{n$：这里$\left(\frac{2}{3}\right)}n$是趋近于0的指数项，虽然乘以n，但指数衰减的速度比多项式增长快得多，所以这个项的极限也是0（你可以用洛必达法则验证：把它写成$\frac{n}{(3/2)^{n}$，分子求导为1，分母求导为$(3/2)}n\ln(3/2)$，当n趋于无穷时分母趋于无穷，因此极限为0）。
• 常数项除以$3^{n$，比如$\frac{7}{3}n}$和$\frac{1}{3^n}$，显然当n趋于无穷时极限都是0。

把这些极限代入后，分子就变成了$0+0+0=0$，分母变成了$0+1+0=1$，所以最终$L=0$。

总结一下，处理这种分子分母都是多个不同增长速度项相加的极限，核心是找到其中增长最快的那个项，然后分子分母都除以它，这样其他项都会趋近于0，就能轻松算出极限啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SAQ