关于Unduloid（椭圆曲线旋转面）平均曲率始终为正的成因及相关技术疑问

我来帮你拆解这个问题，咱们先从旋转曲面的平均曲率公式入手，再结合Unduloid的几何特性一步步分析：

首先，你给出的这个平均曲率公式是完全正确的：
$$-\frac{r''}{(1+r'²⁾{3/2}} + \frac{1}{r(1+r'²⁾{1/2}} = 2H$$
这里两个项分别对应子午线方向的主曲率$k_1$和垂直于旋转轴的圆周截面方向的主曲率$k_2$，平均曲率的定义就是$H=(k_1+k_2)/2$，所以这个公式本质就是在表达两个主曲率的和等于$2H$。

接下来咱们逐个分析两项的符号和大小：

• 第二项$k_2=\frac{1}{r(1+r'²⁾{1/2}}$：因为旋转面的半径$r$肯定是正的，分母里的$(1+r'²⁾{1/2}$也永远为正，所以$k_2$永远是正数——这对应圆周截面的凸性，很好理解。
• 第一项$k_1=-\frac{r''}{(1+r'²⁾{3/2}}$：它的符号完全由$r''$（子午线曲线的二阶导数）决定：
  • 当子午线（也就是那段椭圆曲线）凸向旋转轴时，$r''<0$，所以$k_1$是正数；
  • 当子午线凹向旋转轴时，$r''>0$，所以$k_1$是负数。

那为什么Unduloid的平均曲率$H$始终为正？核心原因就在这儿：构成Unduloid的椭圆曲线，它的几何特性决定了——哪怕在子午线凹向旋转轴的区域，负的$k_1$的绝对值也永远小于正的$k_2$，两者相加的结果还是正的。

你提到的“椭圆曲率是否总是小于圆的曲率”这个疑问，其实要更精准地说：Unduloid用到的是椭圆的一段，这段椭圆的曲率（绝对值）在任何位置都不会超过同半径圆周的曲率。换个通俗的说法就是，椭圆向旋转轴凹陷的程度永远不够深，不足以让负的$k_1$把正的$k_2$完全抵消掉。

对比Nodoid（双曲线旋转面）就能看明白差异：双曲线的分支可以向旋转轴方向凹陷得非常剧烈，导致负的$k_1$的绝对值超过了正的$k_2$，此时两个主曲率相加就会变成负数，平均曲率自然也就为负了。

最后再给你一个更直观的几何视角：Unduloid本身就是一类常平均曲率曲面（你说的“始终为正”是指它属于正平均曲率的常平均曲率旋转面），它的构造本质就是让椭圆旋转时，两个主曲率的和保持恒定的正值。椭圆的形状刚好满足这个要求——不管局部是凸还是凹，两个主曲率的代数和始终为正，不会出现负平均曲率的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Remember