关于存在聚点的可数概率空间上离散随机变量的定义疑问

首先明确一点：完全可以在你描述的这种有聚点的可数集合上定义离散随机变量。

离散随机变量的核心定义是：取值于可数集合，且每个单点取值对应的事件都具有正概率——这个定义里并没有要求取值集合不能有聚点。你提到的集合{1, 2, 1±1/2, 2±1/2, 1±1/3, 2±1/3, ...}是可数的（比如可以按分母从小到大枚举，每个分母下对应4个点，就能构造出和自然数集的一一对应），完全满足离散随机变量的取值集合要求。

你提到的“无法按大小顺序排列跳跃点”确实是这个集合的一个特点，但这并不影响离散随机变量的定义——因为离散随机变量的概率分布只需要给每个单点分配正概率，不需要依赖某种特定的排序。举个例子，你可以给每个点1±1/n分配概率c/n²，给2±1/n分配概率c/n²，再调整常数c让所有概率的和为1，这就是一个合法的离散分布。

至于Kalbfleisch和Prentice在《The statistical analysis of failure time series》第一章1.2.2节里隐含的排序，大概率是为了简化解释场景——他们可能默认讨论的是没有聚点的离散集合（比如整数集、有限集），这类集合的跳跃点可以自然按大小排序，方便讲解概率函数的累加思路。但这只是一种简化的讨论场景，并不是离散随机变量定义的必要限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hans Steinberg