求满足指定恒等式的正整数n

嘿，我来帮你拆解这个问题！你注意到$x^2+xy+y2$这个项并尝试变形的思路真的很棒，不过咱们可以先从代入特殊值缩小范围入手，再验证剩余情况是否对所有实数$x,y$成立，这样会更清晰。

第一步：排除偶数n #

先取$x=-y≠0$（因为$x,y$是实数，只要非零即可），代入原式：

• 左边：$[(x+(-x))^n - (x^n + (-x)^n)]2 = [0 - 2x^n]2 = 4x^{{2n}$（因为n是偶数时，$(-x)}n=x^n$）
• 右边：$n^2x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^{n-3} = n^2x2(-x)^2*02*... = 0$

左边是$4x^{2n}≠0$，右边是0，矛盾！所以所有偶数n都不满足，我们只需要考虑奇数n。

第二步：代入x=y缩小奇数n的范围 #

取$x=y≠0$，代入原式：

• 左边：$[(2x)^n - (x^n+xn)]^2 = x^{2n}(2n - 2)^2$
• 右边：$n^2x2x^2(2x)2(x^2+x2+x²⁾{n-3} = 4n^2*3{n-3}x^{2n}$

两边约去$x^{2n}$（$x≠0$），得到等式：
$$(2^n - 2)^2 = 4n^2*3{n-3}$$

现在逐个试正奇数：

• n=1：左边$(2-2)^{2=0$，右边$4*1*3}{-2}=4/9≠0$，不成立
• n=3：左边$(8-2)^{2=36$，右边$4*9*3}0=36$，成立
• n=5：左边$(32-2)^{2=900$，右边$4*25*3}2=900$，成立
• n=7：左边$(128-2)^{2=15876$，右边$4*49*3}4=15876$，成立
• n=9：左边$(512-2)^{2=260100$，右边$4*81*3}6=236196≠260100$，不成立
• n≥11的奇数：可以证明$(2^n-2)2$与$4n^2*3{n-3}$的差距会越来越大，左边始终大于右边，因此都不成立

第三步：验证n=3,5,7对所有x,y成立 #

当n=3时：

左边展开：$[(x+y)^3 -x^3 -y^3]2 = [3x^2y+3xy2]^2 = 9x^2y2(x+y)^2$
右边：$3^2x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^{0}=9x2y^2(x+y)2$
左右两边相等，成立。

当n=5时：

先展开左边的被平方项：
$$(x+y)^5 -x^5 -y^5 =5x^4y+10x3y^2+10x2y^3+5xy4=5xy(x+y)(x^2+xy+y2)$$
平方后得到：$25x^2y2(x+y)^2(x2+xy+y²⁾2$
右边：$5^2x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^{5-3}=25x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^2$
左右两边相等，成立。

当n=7时：

展开左边的被平方项后可以化简为$7xy(x+y)(x^2+xy+y2)^{2$，平方后为$49x}2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^4$
右边：$7^2x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^{7-3}=49x2y^2(x+y)2(x^2+xy+y2)^4$
左右两边相等，成立。

结论 #

满足条件的非零自然数n是3,5,7。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fikooo