在约束$x^2 +y^2 \leq 1$下的极值求解问题及函数绝对值极值的正式推导请求

我正在尝试求解以下函数的绝对值（或模）在约束$x^2 +y^2 \leq 1$下的最大值和最小值：
$$f(\theta, \phi, x, y) =(\alpha x+\beta y)\left(x^2 +y^2 -2(\alpha x+\beta y)^2\right)$$
其中$\alpha = \sin \theta \cos \phi$，$\beta =\sin \theta \sin \phi$。

我的直觉：

• 最小值为0，对应$\alpha =\beta =0$的情况；
• 最大值对应$\alpha= 0, \beta =1$或$\alpha= 1, \beta =0$的情况。

我是通过数值模拟得到这些直觉结论的，有人能帮我做正式的推导吗？

没问题，咱们一步步来推导验证你的直觉，先通过变量替换简化问题，再分情况分析极值：

第一步：简化变量与问题对称性 #

首先注意到$\alpha^2 + \beta^2 = \sin^2\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) = \sin^2\theta$，记$k = |\sin\theta|$（因为正负不影响绝对值极值），则$\alpha^2+\beta2=k^2$，$k\in[0,1]$。

另外，$\alpha x + \beta y$是向量$(\alpha,\beta)$与$(x,y)$的点积，利用坐标系旋转的对称性，我们可以把$(\alpha,\beta)$对齐到x轴（旋转不改变函数的绝对值和约束条件），所以问题可以简化为：当$\alpha=k, \beta=0$时，求$|f(x,y)|=|x(x^2+y2-2x^2)|=|x(y2-x^2)|$在$x2+y^2\leq1$下的极值——这个结果对任意$\phi$都成立，因为旋转不改变极值大小。

第二步：分析最小值 #

当$\alpha=\beta=0$时，$f(x,y)=0$，显然$|f|=0$。除此之外，只要$\alpha x + \beta y=0$（即$(x,y)$与$(\alpha,\beta)$垂直），$f(x,y)=0$，$|f|=0$。所以$|f|$的最小值确实是0，你的直觉完全正确。

第三步：分析最大值 #

我们先考虑约束边界$x^2+y2=1$（因为内部的极值点后续验证后发现都是0，最大值一定在边界上），令$y^2=1-x2$，代入函数得：
$$|f(x)|=|x((1-x^2)-x2)|=|x(1-2x^2)|$$
现在转化为求$h(x)=|x(1-2x^2)|$在$x\in[-1,1]$的最大值。

分区间讨论：

1. 当$x\in[-1,-\frac{1}{\sqrt{2}})\cup(\frac{1}{\sqrt{2}},1]$时，$1-2x^{2<0$，所以$h(x)=|x(1-2x}2)|=|x|(2x^{2-1)$，这个函数在该区间单调递增（求导得$h’(x)=6x}2-1>0$，因为$x^2>\frac{1}{2}$），所以最大值在$x=\pm1$时取得，此时$h(1)=h(-1)=|1*(1-2*1)|=1$。
2. 当$x\in[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]$时，$1-2x^{2\geq0$，$h(x)=|x|(1-2x}2)$，求导得临界点$x=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}$，此时$h(x)=\frac{\sqrt{6}}{9}\approx0.272$，远小于1。

再验证内部极值：对$f(x,y)=x(y^2-x2)$求偏导，令$\nabla f=0$，得：

• $f_x=y^2-3x2=0$
• $f_y=2xy=0$
  解得$x=0,y=0$，此时$f=0$，是极小值点。

回到原问题，当$k=1$（即$\sin\theta=1$，$\theta=\frac{\pi}{2}$）时，$\alpha=\cos\phi,\beta=\sin\phi$：

• 当$\phi=0$，$\alpha=1,\beta=0$，最大值在$x=\pm1,y=0$处取得，$|f|=1$；
• 当$\phi=\frac{\pi}{2}$，$\alpha=0,\beta=1$，此时函数变为$|y(x^2-y2)|$，同理最大值在$y=\pm1,x=0$处取得，$|f|=1$。

而当$k<1$时，$t=\alpha x+\beta y$的最大值为$k$（当$x^2+y2=1$时），此时$|f|=|k(1-2k^2)|$，这个值的最大值在$k=1$时取得为1，其他$k$值对应的结果都小于1。

最终结论 #

1. 最小值：$|f|$的最小值为0，当$\alpha=\beta=0$，或$(x,y)$与$(\alpha,\beta)$垂直时取到；
2. 最大值：$|f|$的最大值为1，当$\alpha^2+\beta2=1$（即$\sin\theta=1$），且$(x,y)$与$(\alpha,\beta)$同向/反向时取到，也就是你直觉中的$\alpha=1,\beta=0$或$\alpha=0,\beta=1$的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wanderer