关于“Fully faithful aspheric functors are locally aspheric”的证明疑问及错误定位请求

嗨，我试着证明标题里的结论——完全忠实的非球面函子是局部非球面的，自己凑了个证明但觉得肯定不对，可就是找不到问题出在哪。Maltsiniotis的一篇论文里把这个结论当局部非球面函子的例子直接给出，没写证明。

先把相关定义补全（方便理解上下文）：

• $W$-非球面：这里的$W$是$\text{Cat}$中的弱饱和箭头族，包含任意有终对象的范畴$A$到终对象范畴$e$的函子$A\to e$；且满足：若函子$f:A\to B$对所有$b\in B$，切片函子$f/b:A/b\to B/b$都属于$W$，则$f\in W$。
• 非球面函子：函子$f:A\to B$称为非球面的，当且仅当对所有$b\in B$，$f/b:A/b\to B/b$属于$W$。
• 局部非球面函子：函子$f:A\to B$称为局部非球面的，当且仅当对所有$a\in A$，诱导函子$A/a\to B/f(a)$属于$W$。

根据论文里的前置结论：函子$g:X\to Y$是非球面的当且仅当对所有$y\in Y$，$X/y$是非球面的（即$X/y\to e$属于$W$）。所以我的证明目标转化为：

若$f:A\to B$是完全忠实且非球面的，那么对所有$a\in A$、所有$(c:b\to f(a))\in B/f(a)$，$(A/a)/c$是非球面的。

我的推理过程是这样的：
固定$a\in A$和$c:b\to f(a)$。$(A/a)/c$的对象是$(a'\to a, p: (f(a')\to f(a)) \to (b\to f(a)))$，因为$f$完全忠实，$a'\to a$由$f(a')\to f(a)$唯一确定，所以对象可以等价为交换图：
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
f(a') @>>> b\
@VVV @VVcV \
f(a) @= f(a)
\end{CD}$$
然后我认为，由$c:b\to f(a)$、$\text{id}_b:b\to b$构成的结构是$(A/a)/c$的终对象——因为对任意$a'\in A$，都能找到唯一的$f(a')\to b$使得图交换，而根据$f$的完全忠实性，对应的$a'\to a''$（这里的$a''$对应$b$）也唯一存在。既然$(A/a)/c$有终对象，那它就是非球面的，结论得证。

但问题在于，我整个过程完全没用到$f$是非球面的假设，这显然不合理，说明我的证明肯定有漏洞，可我实在找不到错在哪，希望能得到指点。

错误定位解析 #

你的证明核心漏洞出在错误假设了$B$中的对象$b$一定有原像在$A$中：
你提到的“终对象候选”需要对应$A$中的某个对象$a''$，使得$f(a'')=b$，同时存在$a''\to a$满足$f(a''\to a)=c$。但$f$只是完全忠实，并不保证本质满射——$B$中的对象$b$可能根本不在$f$的像里，这时候所谓的“终对象”对应的$a''$根本不存在，自然不是$(A/a)/c$的对象。

而这里恰恰是需要用到$f$非球面性的地方：因为$f$是非球面的，对任意$b\in B$，切片函子$f/b:A/b\to B/b$属于$W$。$B/b$有终对象$\text{id}_b$，结合$W$的性质，$A/b$必须是非球面的——这保证了$A/b$存在足够的映射结构，能让$(A/a)/c$满足非球面的定义，而你跳过了这一关键前提，直接默认了$b$在$f$的像中，才导致证明不需要$f$的非球面性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者t_kln