求证指定区间上二次函数f(x)=4x²+4x-5为双射的代数方法咨询

嗨，我来帮你用代数方法一步步搞定这个证明～ 要确认一个函数是双射，咱们得分别证明它是单射（一一对应）和满射（值域全覆盖），两个条件都满足才行，咱们逐个来：

第一步：证明函数是单射（Injective） #

单射的核心是“不同输入对应不同输出”，反过来证更简单：假设定义域里的两个元素 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 满足 ( f(x_1) = f(x_2) )，推导得出 ( x_1 = x_2 ) 就行。

已知 ( f(x_1) = f(x_2) )，代入函数表达式：
[
4x_1^2 + 4x_1 - 5 = 4x_2^2 + 4x_2 - 5
]
两边消去-5，移项整理后提取公因式并因式分解：
[
4(x_1^2 - x_2^2) + 4(x_1 - x_2) = 0 \
4(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 1) = 0
]
现在看这个等式的因子：

• 因为 ( x_1, x_2 \in [0, \infty) )，所以 ( x_1 + x_2 + 1 \geq 0 + 0 + 1 = 1 > 0 )，这个因子不可能为0；
• 那只能是 ( x_1 - x_2 = 0 )，也就是 ( x_1 = x_2 )。

这就证明了函数是单射～

第二步：证明函数是满射（Surjective） #

满射的核心是“值域里的每个元素都能被定义域里的某个元素映射到”，咱们直接对任意 ( y \in [-5, \infty) )，解方程 ( f(x) = y )，看看能不能找到符合定义域要求的 ( x )。

把函数代入方程：
[
4x^2 + 4x - 5 = y
]
整理成标准二次方程形式：
[
4x^2 + 4x - (y + 5) = 0
]
用二次方程求根公式 ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )（这里 ( a=4 )，( b=4 )，( c=-(y+5) )），代入计算后化简：
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{y + 6}}{2}
]
现在分析这两个根：

• 因为 ( y \in [-5, \infty) )，所以 ( y + 6 \geq 1 )，( \sqrt{y + 6} \geq 1 )；
• 取加号的根：( \frac{-1 + \sqrt{y + 6}}{2} \geq \frac{-1 + 1}{2} = 0 )，完全符合定义域 ( [0, \infty) ) 的要求；
• 取减号的根：( \frac{-1 - \sqrt{y + 6}}{2} ) 是负数，不在定义域里，直接舍去。

也就是说，对于任意 ( y \in [-5, \infty) )，都存在 ( x = \frac{-1 + \sqrt{y + 6}}{2} \in [0, \infty) ) 使得 ( f(x) = y )，满射得证～

结论 #

因为函数在指定区间上既是单射又是满射，所以它是双射（Bijective）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AshKetchum4441