关于多个球谐函数乘积表达式的技术问询

嘿，针对你提出的多个球谐函数乘积展开的问题，我来分享一下相关的结论和思路~

首先先回顾你提到的两个球谐函数的乘积公式（参考公式16）：
$$Y_{l_1m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2m_2}(\theta,\phi) = \sum_{lm}W_{3j}(l_1,m_1,l_2,m_2,l,m)Y_{lm}(\theta,\phi)W_{3j}(l_1,0,l_2,0,l,0)$$
这里的$W_{3j}$就是Wigner 3j系数矩阵。

接下来针对你关心的N≥3的情况逐一说明：

N=3的情况 #

三个球谐函数的乘积，最直接的方法是迭代使用两个球谐的乘积公式，但也可以用更高阶的Wigner系数来写出更紧凑的表达式。

一种迭代展开的形式是：
$$Y_{l_1m_1}Y_{l_2m_2}Y_{l_3m_3} = \sum_{l_{12}m_{12}} \sum_{lm} W_{3j}(l_1,m_1,l_2,m_2,l_{12},m_{12}) W_{3j}(l_1,0,l_2,0,l_{12},0) W_{3j}(l_{12},m_{12},l_3,m_3,l,m) W_{3j}(l_{12},0,l_3,0,l,0) Y_{lm}$$
如果想简化系数部分，还可以用Wigner 9j系数（或者6j系数组合）来表示，因为这类系数本身就是为描述三个角动量的耦合组合设计的，刚好匹配三个球谐函数的乘积场景。

N=4的情况 #

四个球谐函数的乘积可以通过两次两两耦合来展开，也可以继续迭代耦合步骤，最终的表达式会包含多重求和，系数是多组3j系数的乘积：
$$\prod_{i=1}^4 Y_{l_im_i} = \sum_{l_{12}m_{12}} \sum_{l_{34}m_{34}} \sum_{lm} W_{3j}(l_1,m_1,l_2,m_2,l_{12},m_{12}) W_{3j}(l_1,0,l_2,0,l_{12},0) W_{3j}(l_3,m_3,l_4,m_4,l_{34},m_{34}) W_{3j}(l_3,0,l_4,0,l_{34},0) W_{3j}(l_{12},m_{12},l_{34},m_{34},l,m) W_{3j}(l_{12},0,l_{34},0,l,0) Y_{lm}$$
同样，也可以用Wigner 12j或9j系数来合并这些系数项，让表达式更简洁，但本质上都是遵循角动量耦合的基本规则。

一般N的情况 #

对于任意N个球谐函数的乘积，核心逻辑都是逐步迭代耦合：每次将两个球谐函数（或者已经耦合得到的球谐函数和）相乘，展开为新的球谐函数和，重复这个过程直到所有项都完成耦合。最终的展开系数会是一串Wigner 3j系数的乘积，也可以用对应阶数的高阶Wigner系数（比如N对应的nj系数）来统一表述，不过高阶Wigner系数的实际应用相对较少，迭代的方式反而更直观易懂。

另外要注意，所有展开都需要满足角动量耦合的选择定则，比如$|l_a - l_b| \leq l_{ab} \leq l_a + l_b$，$m_{ab} = m_a + m_b$这类规则，它们会自动限定求和的有效范围，不用额外手动过滤。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者haricash