交换幺环中R/Mⁿ的素理想唯一性证明问询
Hey，你第一步的思路完全没问题——在交换幺环里，极大理想确实都是素理想，这是个非常扎实的起点。接下来咱们把这个问题和环的理想对应定理结合起来，就能轻松搞定素理想的唯一性了，我一步步给你理清楚：
首先，先提一下咱们要用到的关键工具：环同态的理想对应定理（你应该之前学过这个，但我再明确一下）：对于自然投影同态 $\pi: R \to R/M^n$，它的核是 $M^n$。这个定理的核心结论有两个：
- $R/M^n$ 中的所有理想，和 $R$ 中所有包含 $M^n$ 的理想是一一对应的；
- 这个对应关系会保持素理想的性质——也就是说，$R/M^n$ 中的素理想，恰好对应 $R$ 中包含 $M^n$ 的素理想，反过来也成立。
接下来，咱们聚焦到环$R$中：假设$P$是$R$里一个包含$Mn$的素理想，那咱们来推导$P$只能是什么。因为$Mn \subseteq P$，而$P$是素理想，根据素理想的核心性质：任取$a \in M$，那么$a^n \in M^n \subseteq P$，而素理想要求如果某个元素的幂次属于它，那这个元素本身也属于它，所以$a \in P$——这就意味着整个$M \subseteq P$。
但你已经知道$M$是极大理想了，极大理想的定义就是：在$R$中，不存在任何真包含它的真理想。而素理想$P$是真理想（因为素理想不能等于整个环$R$，否则$1 \in P$，那$P=R$，不符合素理想的定义），所以$P$只能等于$M$——毕竟没有比$M$更大的真理想了。
现在回到商环$R/Mn$：根据刚才的对应定理，$R$中唯一包含$Mn$的素理想是$M$，那它在商环里对应的就是$M/Mn$，这就是$R/Mn$里唯一的素理想。
换句话说，你之前找到的那个素理想$I$，本质上就是$M/Mn$，而且不存在其他素理想了——因为$R$里根本没有其他包含$Mn$的素理想，自然商环里也不会有对应的素理想。
最后再补个小验证：$M/M^n$确实是素理想，因为$M$是$R$的素理想，且$M \supseteq M^n$，根据对应定理的性质，它在商环里对应的理想就是素理想，这也和你一开始的结论完全契合。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1274801
