Riemannian manifold中环绕两点的loop长度是否可能小于两点间的距离？

当然可以！这个问题挺有意思的，我给你举几个直观的例子，你就能明白为什么这种情况是存在的。

首先先呼应你提到的基本概念：黎曼流形上两点的距离是所有连接它们的路径长度的下确界（也就是最短路径的长度），而度量张量负责定义每一点附近的局部距离，路径长度就是通过对局部距离的积分得到的。

那回到问题本身，我们可以构造这样的二维黎曼流形：想象两个大小相同的圆盘，用一条特别长、特别细的通道连接起来——类似两个圆形蛋糕用一根超长的细吸管连在一起。假设点A是左边圆盘的中心，点B是右边圆盘的中心。

这时候，A和B之间的最短路径必须穿过那条细长的通道，路径长度大概是「圆盘半径 + 通道长度 + 圆盘半径」。但如果我们取一个loop，沿着左边圆盘的边缘绕一圈，再沿着右边圆盘的边缘绕一圈（这个loop会把A、B都包围在里面），它的长度就是2πr + 2πr = 4πr（r是圆盘半径）。只要我们把通道做得足够长，比如通道长度远大于4πr，那这个loop的长度就会明显小于A、B之间的最短路径长度！

再给你一个更经典的例子：考虑环面（就是甜甜圈的形状）。假设我们把环面做得非常“扁”——就像一个被压薄的甜甜圈，它的“赤道”（绕着甜甜圈外圈的那条曲线）长度很短，而环面的“厚度”方向很长。现在选A、B两个点，分别在环面厚度方向的两端，那A、B之间的最短测地线需要穿过厚度方向，长度很长；但如果我们取一个沿着赤道的loop，这个loop会把A、B都包围在里面，它的长度就会比A、B之间的距离短很多。

这里需要注意的是，我们说的“环绕两点”得保证loop确实把A、B都包含在它所围的区域里（二维流形里就是loop内部包含这两个点），不然随便找个小loop肯定不算数。但只要流形构造得当，这种情况完全成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pierrick Leroy