关于立方除数和函数σ₃的上极限增长速率的技术问询

你提到的这个问题其实属于解析数论里高阶除数和函数增长性的经典研究方向，和你熟悉的$\sigma_1(n)$那个$e^\gamma$的结果是同一系列的问题。先直接给你结论：

对于立方除数和函数$\sigma_3(n)$（即所有正除数的立方和），对应的上极限结果为：
$$\limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma_3(n)}{n^3 \log \log n} = \frac{e^\gamma}{\zeta(4)}$$

这里给你拆解几个关键细节：

• $\zeta(4)$是黎曼ζ函数在4处的取值，具体数值为$\frac{\pi^4}{90}$，这个系数是高阶除数和函数区别于$\sigma_1(n)$的核心——因为$\sigma_k(n)$的极值增长需要结合ζ函数在$k$点的取值来修正。
• 这个结果的推导思路和$\sigma_1(n)$的情况一脉相承：通过构造k-高度合成数（高度合成数的高阶推广）来逼近上极限，这类数的素因子指数随素数增大而递减，能最大化$\frac{\sigma_k(n)}{n^k}$的比值，再结合对数平均的性质自然得到$\log \log n$的项。

如果想深入理解推导过程，可以从这些经典方向入手：

• 先利用欧拉乘积展开$\frac{\sigma_k(n)}{n^k} = \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^k} + \frac{1}{p^{2k}} + \dots\right) = \prod_p \frac{1}{1 - 1/p^k}$，然后通过调整素因子的指数，找到让这个乘积在$n$增长时结合$\log \log n$的最优构造。
• 核心理论基础是Hardy-Ramanujan提出的高度合成数理论，后来被推广到高阶除数函数的极值增长研究中。

另外补充一句，你提到的“trivial liminf”确实存在，$\frac{\sigma_3(n)}{n^3}$的下极限是$\frac{1}{\zeta(3)}$（当$n$取素数幂序列时可以逼近这个值），不过这部分确实相对直观，和你关注的上极限不在一个复杂度层面。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user3141592