关于线性映射与矩阵的特征值/特征向量定义对於内积选择的依赖性及相关问题的问询

各位好，先聊聊我之前碰到的一个困惑：我记不清具体在哪看到的，但好几次都听说/读到过这么个说法——定义特征值和特征向量的时候，其实隐含需要选择一个内积。

现在我有个核心疑问想请教大家：

是不是更准确的表述应该是：线性映射 $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 的特征值/特征向量定义不依赖于内积的选择，但矩阵 $M \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的特征值/特征向量定义则隐含依赖于内积的选择？

我个人的理解是，线性函数的特征值/特征向量定义完全和内积无关——不管向量空间 $V$ 上有没有定义内积，$L(v) = c v$ 这个等式都是完全有意义、定义明确的，毕竟 $v \in V$，$L: V \to V$ 是从 $V$ 到自身的线性映射。

另外我也了解一些相关背景知识：

• 选择一个内积（更一般的情况是任何非退化双线性形式，内积是正定的特例），等价于选择向量空间 $V$ 和它的对偶空间 $V^*$ 之间的一个同构（比如大家常说的“音乐同构”）。
• 线性映射空间 $\mathcal{L}(V,V)$ 同构于 $V^* \otimes V$。如果把矩阵看作是“完全反变”的结构，那么矩阵空间同构于 $V \otimes V$，所以要建立线性映射（对应 $V^* \otimes V$）和矩阵（对应 $V \otimes V$）之间的同构关系，就需要 $V^*$ 和 $V$ 之间的同构，也就是必须选择一个内积（或者更一般的非退化双线性形式）。

基于这些，我会觉得：那些对于线性映射来说不依赖内积选择的概念（比如特征值/特征向量），当我们把它们转化为对应的“矩阵版本”时，就会开始依赖内积的选择了。

不知道这个思路对不对？还是说特征值/特征向量的定义里有更微妙的细节，哪怕是针对线性映射定义的时候，仍然隐含着对内积的依赖？

另外还有一个相关的小问题想请教：

矩阵乘法需要内积空间吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hasManyStupidQuestions