关于寻找满足所有整数至少满足一个同余式的整数$a_1,\cdots,a_5$的求解咨询

我现在卡在这个问题上了，自己想了一个解法，但不太确定是否正确，先把问题贴出来：

找到所有整数$a_1,\cdots,a_5$，使得每个整数$x$都满足至少一个同余式：
$x \equiv a_1\pmod{2},x \equiv a_2\pmod{3},x \equiv a_3\pmod{4},x \equiv a_4\pmod{6},x \equiv a_5\pmod{12}$

我的解题思路是这样的：

首先，任何整数$x$都属于$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$的某个等价类，也就是说$x$可以表示成$12k+r$的形式，其中$k$是非负整数（$k \in \mathbb{N}\cup{0}$），$r$的取值范围是${0,1,2,\cdots,11}$。

我有这么几个方向：

• 取$a_1=2s$（也就是让$a_1$是偶数），这样所有形如$12k+2r$（$r \in {0,1,2,\cdots,5}$）的数都满足$x \equiv a_1\pmod{2}$；
• 对于剩下的模12等价类，我选择$a_3=4m$（即$a_3$是4的倍数），这样形如$12k,12k+4,12k+8$的数就能被$x \equiv a_3\pmod{4}$这个同余式覆盖；
• 这时候还剩下3个模12的等价类，我用$a_2,a_4,a_5$分别覆盖：取$a_2=12p+2$，$a_4=12q+6$，$a_5=12l+10$。

我觉得这套思路应该能解决问题，比如我试了一组解$(1,2,4,6,10)$，验证下来确实满足条件——每个整数$x$都能匹配到至少一个同余式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Caratheodory_Enthusiast