带锥奇点度量的局部分歧映射下复测地坐标的存在性问询

设$X$是$n$维紧Kähler流形，$Y=\sum_{i\in I} Y_i$是一个简单正常交叉除子（snc divisor）——换句话说，存在有限个平凡化覆盖${V_k; z_k^1,\ldots,z_kn}$，使得
$$Y\cap U_k=\left{z_k^1\cdots z_k^d=0\right}.\tag{1}\label{1}$$

我们用$\omega_C$表示$X_0=X\setminus \text{Supp}(Y)$上的一个整体定义的度量，它沿$\mathbb{Q}$-除子$\sum_{i\in I}(1-\frac{1}{m})Y_i$具有锥奇点（其中$m\in\mathbb{N}^+$）。具体来说，在$X$的每个平凡化邻域$V_k$上，存在常数$C_k>0$，使得
$$C_k^{-1} \left(\sum_{j=1}^d \frac{idz^j_k\wedge d\overline z_k^j}{|zj_k|^{{2-\frac{2}{m}}}+\sum_{j=d+1}}n idz_k^j\wedge id\overline z^j_k\right)\leq\omega_C|{V_k}\leq C_k \left(\sum{j=1}^d \frac{idz^j_k\wedge d\overline z_k^j}{|zj_k|^{{2-\frac{2}{m}}}+\sum_{j=d+1}}n idz_k^j\wedge id\overline z^j_k\right),$$
且这个估计和所选的平凡化邻域无关。

接下来考虑局部分歧映射：
$$\pi_k: U_k\rightarrow V_k,,,,,,,, \pi_k(w_k^1,\ldots,w_kn):=((w_k¹⁾m,\ldots,(w_k^d)m,w_k^{{d+1},\ldots,w_k}n)\tag{2}\label{2}.$$
经过这个变换后，$\pi_k^* \omega_C$是$U_k$上的光滑Kähler度量（可以光滑延拓到整个邻域），并且和欧氏度量是拟等距的。

核心问题 #

现在我想问的是：在上述设定下，能不能在每个$U_k$上找到原点附近的优良复法坐标/复测地坐标${w^1_k,\cdots w^{n_k}$，使得对于Kähler度量${\pi_k}}{\omega_C}$，满足
$${\pi_k^}{\omega_C}=\sqrt{-1}\omega_{ml}d w^k_m\wedge d\overline w^k_l,,,,,,,, \omega_{ml}=\delta_{ml}+O(|w|^2),$$
同时还能让\eqref{1}和\eqref{2}的条件同时成立？

补充说明 #

关于\eqref{1}和\eqref{2}可以同时成立的情况，我看到过相关例子，比如Ye的复几何笔记里的Remark 5.34。但我实在搞不清楚，在加入锥度量的假设后，我们能不能甚至要怎么构造出这种更理想的“测地”坐标——毕竟虽然局部提升上确实存在某个Kähler度量，但锥度量的奇点性质会不会带来额外的限制？

非常欢迎大家给出任何评论、建议或者相关参考文献，谢谢各位！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Invariance