关于按自身数位顺序构造成幂运算且结果等于自身的数字的命名及十进制存在性问询

先分享几个有意思的这类数的例子，在不同进制下都有发现：

• 八进制：十进制的27写成八进制是33，把最后一位作为上标变成3³，计算结果刚好还是27（十进制），对应表达式：
  $$33 \rightarrow 3^{3} = 33 \qquad (\mathrm{VIII})$$
• 二进制：十进制的27转二进制是11011，把最后三位作为指数、前两位作为底数，得到11⁰¹¹（也就是3的3次方），结果和原数相等：
  $$11011 = 11^{011} \qquad (\mathrm{II})$$
• 六进制：十进制的16转六进制是24，把最后一位作为上标得到2⁴，结果正好是16：
  $$24 = 2^{4} \qquad (\mathrm{VI})$$

关于命名 #

这类数确实属于**弗里德曼数（Friedman numbers）**的一个子集——弗里德曼数的定义是可以通过自身数位的运算（允许重排）得到自身，而这类数更严格：不需要重排数位，只用到一次幂运算就能还原自身，也就是你提到的"数位高度无关"数。

十进制的存在性 #

目前还没有找到十进制下的这类数，而且根据推导和搜索结果，推测如果存在的话，数值肯定大于$10^{14}$。

补充一些推导细节，方便验证：
假设这类数可以拆成三部分：底数α、中间可能存在的一串0、指数β（也就是原数是α拼接0串再拼接β），在b进制下满足公式：
$$\alpha^{\beta} = \alpha b^{n} + \beta$$
这里n是中间0的位数（或者说β的数位长度）。

为了简化搜索，我们可以先聚焦n=1的情况（也就是β是一位数，中间没有0），此时可以解出进制b的表达式：
$$b = \alpha^{\beta - 1} - \frac{\beta}{\alpha}$$
这个公式要求$\alpha, \beta \ge 2$，且$\alpha \le \beta$，b的数值会随着α或β的增大而快速增长。

我搜索了$\beta_0 = 50$以内的所有可能组合，对应的$b_0 \approx 5*10^{{14}$，在所有小于$b_0$的`b`值里，只有8是幂次（并非10的幂次），所以如果十进制（`b=10`）存在这类数，对应的`b`值肯定要大于$b_0$，也就是至少$10}{15}$，那么原数$\alpha b^{n} + \beta$的数值会更大。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SuspiciousGarbage