关于8×8棋盘数字放置游戏中最小列和奇偶性的胜负策略问询

这个问题出自澳大利亚TST（国家队选拔测试）：

游戏规则 #

• 玩家A和B轮流将数字1到64填入8×8的棋盘，玩家A先手。
• 所有数字放置完成后，圈出每一列中的最小数字，令S为这些圈出数字的总和。

核心问题 #

i) 玩家A能否通过策略确保S一定为偶数？
ii) 玩家A能否通过策略确保S一定为奇数？

我的尝试 #

我尝试证明玩家A能达成目标，毕竟先手优势应该不会妨碍他们获胜。希望能得到大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cherry