单变量微积分：所有局部极值点都是转向点吗？

咱们先把你提到的两个关键定义理清楚，避免歧义：

• 驻点（Stationary point）：指满足 $f'(x_0)=0$ 的点 $x_0$。
• 转向点（Turning point）：指函数的导数 $f'$ 在该点附近（函数需在该点附近可导，但该点本身导数不一定存在）发生正负号变化的点 $x_0$——也就是导数从正变负，或者从负变正的点。

你已经明确了两个很重要的结论，我再帮你捋一遍：

• 不是所有驻点都是转向点：比如函数 $f(x)=x^3$，在 $x_0=0$ 处导数为0，是驻点，但在 $x_0=0$ 两侧，导数 $f'(x)=3x^2$ 始终非负（除了0点），没有发生正负变化，所以这不是转向点。
• 不是所有转向点都是驻点：比如绝对值函数 $f(x)=|x|$，在 $x_0=0$ 处导数不存在，但在0点左侧导数为-1，右侧为1，导数发生了正负变化，所以是转向点，但因为该点导数不存在，所以不是驻点。

你提到的那个定理也很关键：如果函数 $f$ 在 $x_0$ 附近可导，且 $x_0$ 是转向点，那么 $x_0$ 一定是局部极值点（根据导数变号的方向，能轻松判断是局部极大值还是极小值）。

那回到你的核心问题：所有局部极值点都是转向点吗？答案是否定的，咱们可以找到不少反例：

情况1：定义域端点处的局部极值 #

比如考虑定义域为 $[0, +\infty)$ 的函数 $f(x)=x$：

• $x_0=0$ 是局部极小值点（定义域内所有 $x≥0$ 的函数值都大于等于 $f(0)=0$）。
• 但在 $x_0=0$ 附近，只有右侧有定义，导数 $f'(x)=1$ 始终为正，根本没有“导数变号”的可能，所以这个局部极值点不是转向点。

再比如定义域为 $[-1,1]$ 的函数 $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$：

• $x_0=1$ 是局部极大值点（左侧所有点的函数值都小于 $f(1)=1$）。
• 在 $x_0=1$ 左侧，导数 $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，当 $x$ 接近1时导数为正，而右侧没有定义，导数没有发生正负变化，因此这也是局部极值但不是转向点。

情况2：函数在极值点处导数不存在，但两侧导数同号 #

比如函数 $f(x)=\sqrt{x}$，定义域为 $x≥0$：

• $x_0=0$ 是局部极小值点，所有 $x≥0$ 的函数值都大于等于0。
• 在 $x_0=0$ 右侧，导数 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 始终为正，左侧没有定义，导数没有变号，所以这个点也不是转向点。

简单总结一下：转向点要求导数在点的两侧发生正负变化，但局部极值点可能出现在定义域的端点处（只有一侧有定义），或者虽在定义域内部但导数在两侧没有变号，所以并不是所有局部极值点都是转向点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者runtotherescue