关于随机变量概率表达式(2)和(3)的推导疑问

嗨，我来帮你一步步拆解从式(1)到式(2)、(3)的推导逻辑，核心就是分情况讨论分母的正负性，咱们慢慢捋：

首先先把式(1)里的分母简化一下，提取公因子$\rho$（题目明确$\rho$是正数，不会改变不等式方向）：
$$a_1 \rho - a_2 \rho u_1 = \rho(a_1 - a_2 u_1)$$
接下来就根据$a_1 - a_2 u_1$的正负，也就是$\frac{a_1}{a_2}$和$u_1$的大小关系，分两种情况讨论：

情况1：$\frac{a_1}{a_2} > u_1$（即$a_1 - a_2 u_1 > 0$） #

这时候分母$\rho(a_1 - a_2 u_1)$是正数，结合分子$u_1=2.4>0$，可以得到$\phi = \frac{u_1}{a_1 \rho - a_2 \rho u_1}$是正数。

现在看原不等式：
$$h_0 h_1 < \phi$$
这里有个关键的隐含前提：$h_0$是正随机变量（因为推导里直接除以$h_0$却没反转不等号，说明$h_0$的取值全为正）。既然$h_0>0$，不等式两边同时除以$h_0$，不等号方向不变，就得到：
$$h_1 < \frac{\phi}{h_0}$$
对应的概率自然就是：
$$P = \text{Pr}\biggl(h_1< \frac{\phi}{h_0}\biggr)$$
这就是式(2)的由来啦。

情况2：$\frac{a_1}{a_2} \leq u_1$（即$a_1 - a_2 u_1 \leq 0$） #

这时候分母$\rho(a_1 - a_2 u_1)$是非正数，分子$u_1>0$，所以$\phi = \frac{u_1}{a_1 \rho - a_2 \rho u_1}$是非正数（负数或负无穷，当分母趋近于0时）。

如果咱们延续$h_0,h_1$都是正随机变量的前提，那$h_0 h_1$必然是正数，正数小于等于负数是不可能发生的事件，概率应该为0，但你给出的式(3)是$P=1$，这里大概率是推导时的符号疏漏（比如原不等式可能是$h_0 h_1 > \phi$，这样当$\phi$为负无穷时，所有正的$h_0 h_1$都满足条件，概率为1）。不过按照你提供的内容，推导的核心逻辑就是当$\frac{a_1}{a_2} \leq u_1$时，原不等式对应的事件是必然事件（概率1），这应该是基于特定的随机变量取值范围或不等式方向修正后的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heretolearn