关于渐近等价的定义差异及其积分保持性的疑问咨询

大家好，最近啃渐近等价相关内容的时候，我遇到了个有点绕的问题，想请各位前辈帮忙梳理清楚~

我发现渐近等价居然有两个相近但本质不同的定义：假设函数$f$和$g$在$x_0$的邻域内满足$g\neq0$，那么它们在$x_0$处的渐近等价定义分为两种：

• 定义1：$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$
• 定义2：$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\ell \in \mathbb{R}\setminus{0}$

这俩显然不等价，举个例子：$2x$和$x$按定义2是渐近等价的，但按定义1就不是。我个人其实更倾向定义2，因为它覆盖的范围更广，而且直觉上$2x$和$x$本来就该算渐近等价的，但实际查资料的时候，反而定义1出现的频率更高。

另外我特别在意渐近等价的一个核心性质：积分的保持性——也就是如果$f \sim g$，那么$\int f \sim \int g$。但我查资料时发现说法完全矛盾：有的帖子说这个性质成立，有的说不成立。后来我仔细看了下，发现用定义2的话这个性质是成立的，但用定义1就不一定，比如我在某帖子的评论里看到过一个反例，能直接说明定义1下积分等价的性质不成立。

现在我被这些看似冲突的信息搞晕了，完全理不清头绪，有没有大佬能给我把这堆内容捋顺、解惑呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luigi Traino