利用夹逼准则证明二元分段函数在(0,0)处连续性的疑问

嘿，我看你在用AG不等式分析这个二元分段函数在原点的连续性时，卡在第二项的处理上了对吧？先把你的问题和推导理清楚，咱们一起找找问题出在哪，再想办法解决~

首先先明确要分析的分段函数：
$$
f(x, y) = \begin{cases}
\frac{x^2y3 + 3y^6}{x2 + y^4}, & \text{if } (x,y) \neq (0,0), \
0, & \text{if } (x,y) = (0,0).
\end{cases}
$$

你尝试用AG不等式做了如下推导：
$$
\begin{aligned}
0 &\leq \frac{|x^2y3 + 3y^6|}{|x2 + y^4|} \
&\leq \frac{|x^2y3|}{2|xy^2|} + \frac{3|y^6|}{2|xy2|}
\end{aligned}
$$

这里的问题其实出在你对分母$x^2 + y^4$的AG不等式应用上——你应该是套用了$a+b \geq 2\sqrt{ab}$，得到$x^2 + y^4 \geq 2|xy^{2|$，然后把分母替换成这个下界，结果第二项变成了$\frac{3|y}4|}{2|x|}$，这就引入了x在分母的问题，导致没法直接判断它趋近0。这个放缩方向其实太“松”了，反而给自己添了麻烦~

那咱们换个更合适的放缩思路，用三角不等式拆分分子，再分别对两项用夹逼：

首先，根据三角不等式，有：
$$
\frac{|x^2y3 + 3y^6|}{x2 + y^4} \leq \frac{|x^2y3|}{x^2 + y^4} + \frac{3|y^6|}{x2 + y^4}
$$

接下来分别处理这两项：

• 对于第一项$\frac{|x^2y3|}{x^2 + y^{4}$：因为$x}2 + y^4 \geq x^{2$（毕竟$y}4$是非负的），所以可以直接放缩为$\frac{x^2|y|3}{x^2} = |y|^3$。当$(x,y) \to (0,0)$时，$|y|^3$显然趋近于0。
• 对于第二项$\frac{3|y^6|}{x2 + y^{4}$：同样，因为$x}2 + y^4 \geq y^4$（$x2$是非负的），所以可以放缩为$\frac{3y^6}{y4} = 3y^2$。当$(x,y) \to (0,0)$时，$3y^2$也趋近于0。

这样一来，整个式子就被夹在$0$和$|y|^3 + 3y^{2$之间，而当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，右边的$|y|}3 + 3y^2$会趋近于0。根据夹逼准则，原函数当$(x,y) \to (0,0)$时的极限就是0，正好等于$f(0,0)$，所以这个分段函数在$(0,0)$处是连续的。

另外，你也可以试试用极坐标变换来验证：令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$（$r \to 0^{+$），代入原式后分子是$r}5$量级的项，分母趋近于$\cos^2\theta$（当$r\to0$时），不管$\theta$取什么值，整个表达式都会趋近于0，也能得到同样的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathion