关于正态分布样本中心化向量的矩生成函数（MGF）推导的技术问询
问题描述
设 $X_1,\dots,X_n$ 是独立同分布的随机变量，满足 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，定义向量 $Y = (X_1-\bar{X}, \dots, X_n -\bar{X})$，其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。需要证明 $Y$ 的矩生成函数为：
$$M_Y(t) = \exp \left{ \frac{\sigma^2}{2} \sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})^2\right},$$
这里 $t = (t_1,..., t_n)$，$\bar{t} = \frac{1}{n} \sum_{i =1}^ n t_i$。
我目前的思路是：
$$M_{Y} (t_1,...,t_n) = \prod_{i = 1} ^n M_{X_i - \bar{X}}(t_i) = \prod_{i = 1} ^n E\left[ e^{t_i X_i - t_i \bar X}\right]$$
并且我知道单个 $X_i - \bar{X}$ 的矩生成函数是 $M_{X_i - \bar X} (t_i) = \exp \left{\frac{t_i^2 \sigma^2 }{2}(1 - 1/n)\right}$，但后续无法推进，希望得到方向指引。
解答思路与推导
嗨，我来帮你梳理清楚这里的关键问题和推导步骤：
你之前的思路有个核心误区：不能直接将 $M_Y(t)$ 拆成单个 $X_i-\bar{X}$ 的矩生成函数的乘积，因为 $X_i-\bar{X}$ 之间是不独立的（比如它们的和恒为0，存在严格的线性约束），而矩生成函数的乘积性质只适用于独立随机变量。这就是你卡住的根本原因，我们换个方向从定义出发推导：
重新整理矩生成函数的指数项
根据矩生成函数的定义：
$$M_Y(t) = E\left[\exp\left(\sum_{i=1}^n t_i(X_i - \bar{X})\right)\right]$$
先把指数里的表达式展开并化简：
$$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n t_i(X_i - \bar{X}) &= \sum_{i=1}^n t_i X_i - \bar{X}\sum_{i=1}^n t_i \
&= \sum_{i=1}^n t_i X_i - n\bar{t} \cdot \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \
&= \sum_{i=1}^n t_i X_i - \bar{t}\sum_{j=1}^n X_j \
&= \sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})X_i
\end{align*}
$$
这一步是关键：我们把中心化向量的线性组合转化成了原始独立正态变量 $X_i$ 的线性组合，这样就可以利用独立正态变量的性质了。计算线性组合的均值与方差
因为 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且独立，所以 $\sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})X_i$ 是一个一元正态随机变量，我们计算它的均值和方差：
- 均值：
$$E\left[\sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})X_i\right] = \sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})\mu = \mu\left(\sum_{i=1}^n t_i - n\bar{t}\right) = 0$$
（因为 $\sum_{i=1}^n t_i = n\bar{t}$，所以括号内的项为0） - 方差：
$$Var\left[\sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})X_i\right] = \sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})^2 Var(X_i) = \sigma2\sum_{i=1}n (t_i - \bar{t})^2$$
（独立变量的方差可直接相加，协方差为0）
- 利用一元正态变量的MGF公式
对于一元正态变量 $Z \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2)$，其矩生成函数为 $M_Z(s) = \exp\left(\mu_Z s + \frac{1}{2}\sigma_Z^2 s^2\right)$。这里我们的线性组合就是 $Z = \sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})X_i$，且 $s=1$（因为指数是 $1 \cdot Z$），代入得：
$$M_Y(t) = \exp\left(0 + \frac{1}{2}\sigma2\sum_{i=1}n (t_i - \bar{t})^2\right) = \exp\left{\frac{\sigma2}{2}\sum_{i=1}n (t_i - \bar{t})^2\right}$$
这样就完成了证明啦，核心就是避开不独立的变量，转而利用原始独立正态变量的线性组合来推导～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Math Hermit
