多变量微积分中二阶方向导数$D_{B}D_{C}f(I)$的简便求解咨询及学习资源推荐请求

最近在学习多变量微积分，遇到了这么一个问题，想请教大家：

设$GL(n,\Bbb R)$为实数域上n×n可逆矩阵构成的群，给定以下矩阵：
$A=\begin{pmatrix}0 & 1 \2 & 3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1 & 2 \3 & 0\end{pmatrix}$，$C= \begin{pmatrix}1 & 2 \0 & 3\end{pmatrix}$，单位矩阵$I= \begin{pmatrix}1 & 0 \0 & 1\end{pmatrix}$
定义映射$F:GL(2,\Bbb R) \to GL(2,\Bbb R)$为$F(X)=X^{-1}AX$，再定义函数$f:GL(2,\Bbb R) \to \Bbb R$为$f(X)=[F(X)]{11}$——也就是矩阵$F(X)$第一行第一列的元素。
我需要计算二阶方向导数$D{B}D_{C}f(I)$。

我的尝试过程 #

我先推导了$f(X)$的具体表达式：假设$X= \begin{pmatrix}x & y \z & w \end{pmatrix}$，计算后得到$f(X) = \frac{-2xy+z(w-3y)}{(xw-yz)}$。

之后我尝试求$D_{C}f$，但不管用我知道的两种方向导数定义，最后都陷入了非常繁琐的计算，我感觉这应该不是题目想要的解法。我用过的两种方法：

• 极限定义：$\lim_{t\to 0}\frac{f(X+tC)-f(X)}{t}$
• 梯度点积法：$D_{C} f = \nabla f \cdot{C}$

我的疑问与请求 #

我想知道是不是存在更简便的方法来解决这个问题？如果确实有捷径的话，说明我对方向导数、尤其是矩阵空间上的导数这块的理解还不够透彻，能不能推荐一些适合的笔记、视频或者书籍来帮我补一补相关知识？另外如果能给我一个解题的小提示，那就太感谢了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_addict