请求证明修改后的Dirichlet型函数在二次无理点处的可微性

嘿，这个问题刚好能用上丢番图逼近里的经典结论，咱们一步步把证明理清楚：

首先明确目标：要证明函数$f$在二次无理数$a$处可微，等价于证明$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0$——因为$a$是无理数，$f(a)=0$，所以核心就是证$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=0$。

先回顾函数定义：$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$，当$x$是无理数时$f(x)=0$；当$x=p/q$是既约有理数（$q>0$）时，$f(x)=\frac{1}{q^3}$。

核心工具：针对二次无理数的Liouville定理 #

对于任意二次无理数$a$，存在一个只依赖于$a$的正数$C$，使得对所有既约分数$\frac{p}{q}$，都满足：
$$|a - \frac{p}{q}| > \frac{C}{q^2}$$
这个定理的关键意义是：二次无理数不能被有理数“过度精确”地逼近——逼近误差的下界和分母的平方成反比，这是由二次无理数满足二次整系数多项式方程的性质推导而来的。

分情况讨论极限 #

我们分$x$为无理数和有理数两种情况分析$\frac{f(x)}{x-a}$的趋向：

1. 当$x$是无理数时：
   $f(x)=0$，所以$\frac{f(x)}{x-a}=0$，这部分值始终为0，显然满足趋向于0的要求。

2. 当$x$是有理数时：
   设$x=\frac{p}{q}$（既约形式，$q>0$），我们估算$\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|$的大小：
   $$\left|\frac{f(x)}{x-a}\right| = \left|\frac{1/q^3}{a - \frac{p}{q}}\right| = \frac{1}{q^3 \cdot |a - \frac{p}{q}|}$$
   代入Liouville定理的不等式$|a - \frac{p}{q}| > \frac{C}{q^2}$，可得：
   $$q^3 \cdot |a - \frac{p}{q}| > q^3 \cdot \frac{C}{q^2} = Cq$$
   因此：
   $$\left|\frac{f(x)}{x-a}\right| < \frac{1}{Cq}$$
   当$x\to a$时，$q$必然趋向于无穷大——因为如果$q$有界（比如$q\leq N$），满足条件的有理数只有有限个，不可能无限靠近无理数$a$。所以当$q\to\infty$时，$\frac{1}{Cq}\to0$。

用$\varepsilon-\delta$语言严谨化证明 #

对于任意给定的$\varepsilon>0$：

• 先取正整数$N$，使得$\frac{1}{CN} < \varepsilon$；
• 考虑所有分母$q\leq N$的有理数，它们到$a$的距离存在一个最小值$d>0$（因为这类有理数只有有限个）；
• 取$\delta = \min(d, 1)$（只要足够小即可），当$|x-a|<\delta$时：
  • 若$x$是无理数，$\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=0<\varepsilon$；
  • 若$x$是有理数，此时$q>N$，所以$\left|\frac{f(x)}{x-a}\right| < \frac{1}{Cq} < \frac{1}{CN} < \varepsilon$。

综上，$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=0$，即$f$在二次无理数$a$处可微，导数为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者佐武五郎