关于Rudin《数学分析原理》定理11.7中limsup、inf、sup关系及可测性证明的疑问

嘿，我最近跟着Walter Rudin的《数学分析原理》学分析，卡在定理11.7的证明里了，想请教下大家几个问题：

第一个疑问：$g_m(x)$的定义是不是印刷错误？ #

我看到证明里写$g_m(x) = \sup f_n(x) (n\geq m)$，怀疑是不是应该把最后那个$n$改成$m$？其实完全不是印刷错误哦！这里的$g_m(x)$的准确意思是：对每个固定的$m$，取所有下标$n≥m$的$f_n(x)$的上确界，用符号写就是 g_m(x) = sup{ f_n(x) | n ∈ ℕ, n ≥ m }。这里的$n$是遍历所有大于等于$m$的正整数，要是改成$m$的话，就变成单个$f_m(x)$了，那和“上确界”这个概念就没关系啦，原书的写法是对的。

第二个核心疑问：为什么$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = \inf\limits_{m≥1} g_m(x)$？ #

这其实是$\limsup$的一个经典等价定义，我给你拆解清楚：

1. 先看$g_m(x)$的单调性：当$m$增大时，我们考虑的$f_n(x)$的范围越来越窄（从第$m$项到无穷，变成第$m+1$项到无穷），所以对应的上确界$g_m(x)$是非递增序列：$g_1(x) ≥ g_2(x) ≥ g_3(x) ≥ ...$
2. 对于非递增序列来说，它的极限就等于它的下确界（单调有界序列必有极限，非递增序列的极限就是它能降到的最小下界）。
3. 再回到$\limsup$的本质：$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)$描述的是“当$n$足够大时，$f_n(x)$能触及到的最大极限值”，换个角度说，就是我们从某个$m$开始，把后面所有$f_n(x)$的上确界找出来，再取这些上确界里最小的那个——这不就是$\inf\limits_{m≥1} g_m(x)$吗？

举个直观的例子：比如$f_n(x) = (-1)^n + \frac{1}{n}$，那：

• $g_1(x) = \sup{1+1, -1+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{3}, ...} = 2$
• $g_2(x) = \sup{-1+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{3}, -1+\frac{1}{4}, ...} = 1+\frac{1}{3} ≈ 1.333$
• $g_3(x) = \sup{1+\frac{1}{3}, -1+\frac{1}{4}, 1+\frac{1}{5}, ...} = 1+\frac{1}{3}$
• 往后的$g_m(x)$会逐渐递减趋近于1，而$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)$正好就是1，和$\inf\limits_{m≥1} g_m(x)$完全相等。

第三个疑问：怎么证明$h(x)$是可测的？ #

你已经理解了$g_m(x)$是可测的，那接下来就很顺了：

• 首先，每个$g_m(x)$是可测函数族${f_n}_{n≥m}$的上确界，而可测函数的上确界仍然是可测函数，所以每个$g_m(x)$都可测；
• 然后，$h(x) = \inf\limits_{m≥1} g_m(x)$，可测函数族的下确界同样是可测函数——这样就推导出$h(x)$是可测的啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jjw