含对数三角函数的定积分求解方法咨询
你好！先梳理一下你已经完成的推导过程，确保每一步都是准确的：
原始积分：
$$I=\int_0^\infty \frac{x \cdot e{-2x}}{\sqrt{ex-1}} , dx$$
通过变量替换 $u=\sqrt{e^x-1}$，得到 $x=\ln(u2+1)$，$dx=\frac{2u}{u2+1}du$，积分上下限保持0到∞，代入后化简得到：
$$I=2\int_0^\infty \frac{\ln(u2+1)}{(u2+1)^3} , du$$
再做替换 $u=\tan(w)$，$du=\sec^2(w)dw$，利用 $\ln(u2+1)=\ln(\sec2w)=-2\ln(\cos w)$，以及 $(u2+1)3=\sec^6w$，代入后化简得到：
$$I=-4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(w)) \cdot \cos^4(w) , dw$$
接下来回答你的问题：
一、复分析是否适用？
复分析是可行的，但需要处理对数函数的分支切割和三阶极点的留数计算，过程相对繁琐一些。如果你想用复分析，可以参考以下思路：
- 利用偶函数性质，将 $\int_0^\infty \frac{\ln(u2+1)}{(u2+1)^3}du$ 转化为 $\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{\ln(u2+1)}{(u2+1)^3}du$
- 构造上半平面的围道（大圆弧+实轴），注意对数函数的分支选择（比如取主值分支，设置从 $-i$ 到 $i$ 的虚轴分支切割）
- 计算围道内奇点 $z=i$（三阶极点）的留数，利用留数定理得到积分值。不过这里因为 $\ln(z^2+1)$ 在 $z=i$ 处有对数奇点，需要额外处理分支点的贡献，操作起来不如实分析方法直接。
二、更简洁的实分析求解方法
我们可以利用Gamma函数的导数（Digamma函数）来求解这类含对数的三角函数积分，步骤如下：
首先定义一般形式的积分：
$$I(n)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n w \cdot \ln(\cos w) dw$$
已知三角函数积分与Beta函数的关系：
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n w dw = \frac{1}{2}B\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$$
对 $n$ 求导即可得到 $I(n)$：
$$I(n)=\frac{d}{dn}\left[\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right]=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\left(\psi\left(\frac{n+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{n}{2}+1\right)\right)$$
其中 $\psi(x)$ 是Digamma函数，我们需要代入 $n=4$：
- $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$，$\Gamma(3)=2$
- $\psi\left(\frac{5}{2}\right)=-\gamma-2\ln2+\frac{8}{3}$，$\psi(3)=-\gamma+2$（$\gamma$ 是欧拉常数，计算时会抵消）
代入计算得：
$$I(4)=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\frac{\frac{3\sqrt{\pi}}{4}}{2}\left[\left(-\gamma-2\ln2+\frac{8}{3}\right)-(-\gamma+2)\right]=\frac{3\pi}{32}\left(-2\ln2+\frac{2}{3}\right)=-\frac{3\pi\ln2}{16}+\frac{\pi}{16}$$
最后回到你的积分：
$$I=-4I(4)=-4\left(-\frac{3\pi\ln2}{16}+\frac{\pi}{16}\right)=\frac{3\pi\ln2}{4}-\frac{\pi}{4}$$
这个就是原积分的闭形式结果啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marek
