关于与素数互素的乘法集局部化ℤ/(p_i^{e_i})的同构性证明问询
设$S \subset \mathbb{Z}$是乘法集，即$1 \in S$且若$a,b \in S$则$ab \in S$。
设$p_i \in \mathbb{Z}$是素数，$e_i \in \mathbb{Z}^+$，且$S$满足对任意$s \in S$，$\text{gcd}(s,p_i) = 1$。
我想证明$S{-1}(\mathbb{Z}/(p_i{e_i})) \cong \mathbb{Z}/(p_i{e_i})$，也就是$\mathbb{Z}/(p_i{e_i})$在乘法集$S$下的局部化与自身同构。
我在证明时遇到了困难，我猜想需要证明每个形如$\frac{x}{s}$（其中$x \in \mathbb{Z}/(p_i^{e_i})$）的元素都等价于某个$x' \in \mathbb{Z}/(p_i^{e_i})$。
我希望得到一个显式同构或者相关论证。
证明思路与显式同构
别担心，这个问题的核心其实是利用模素数幂下与素数互素的元素可逆这个关键性质，我们一步步来拆解：
第一步：明确局部化的定义
局部化$S^{-1}A$（这里$A = \mathbb{Z}/(p_i^{e_i})$）中的元素是形如$\frac{a}{s}$的等价类，等价关系是：$\frac{a}{s} = \frac{b}{t}$当且仅当存在$u \in S$使得$u(ta - sb) = 0$在$A$中成立。
第二步：构造候选同构并验证
我们定义一个映射：
$$
\phi: S^{-1}A \to A, \quad \frac{x}{s} \mapsto x \cdot s^{-1}
$$
这里的$s^{-1}$是$s$在$A$中的乘法逆元——为什么逆元存在？因为$\text{gcd}(s,p_i)=1$，根据贝祖定理，存在整数$m,n$使得$ms + np_i^{e_i} = 1$，模$p_i^{e_i}$后就是$ms \equiv 1 \pmod{p_i{e_i}}$，所以$s$在$A$中确实可逆，$s{-1}$就是$m$模$p_i^{e_i}$的结果。
接下来验证$\phi$是环同构：
良定义性：
假设$\frac{x}{s} = \frac{y}{t}$，即存在$u \in S$使得$u(tx - sy) = 0$在$A$中。两边乘以$s{-1}t{-1}u^{-1}$（这些逆元都存在，因为$u,s,t$都与$p_i$互素），得到$x s^{-1} = y t^{-1}$，也就是$\phi(\frac{x}{s}) = \phi(\frac{y}{t})$，所以$\phi$是良定义的。环同态：
- 加法：$\phi(\frac{x}{s} + \frac{y}{t}) = \phi(\frac{tx + sy}{st}) = (tx + sy)(st)^{-1} = tx(s t)^{-1} + sy(s t)^{-1} = x s^{-1} + y t^{-1} = \phi(\frac{x}{s}) + \phi(\frac{y}{t})$
- 乘法：$\phi(\frac{x}{s} \cdot \frac{y}{t}) = \phi(\frac{xy}{st}) = xy (st)^{-1} = x s^{-1} \cdot y t^{-1} = \phi(\frac{x}{s}) \cdot \phi(\frac{y}{t})$
- 单位元：$\phi(\frac{1}{1}) = 1 \cdot 1^{-1} = 1$，符合环同态的要求。
双射性：
- 满射：对任意$a \in A$，$\phi(\frac{a}{1}) = a \cdot 1^{-1} = a$，所以$A$中每个元素都是$\phi$的像。
- 单射：假设$\phi(\frac{x}{s}) = 0$，即$x s^{-1} = 0$在$A$中，也就是$x \equiv 0 \pmod{p_i^{e_i}}$，那么$\frac{x}{s} = \frac{0}{s} = \frac{0}{1}$，即局部化中的零元，所以$\phi$的核只有零元，是单射。
另一种简洁的泛性质论证
我们也可以用环局部化的泛性质来快速推导：
因为$S$中的每个元素在$A$中都是可逆元，根据局部化的泛性质——从$A$到任何包含$S$中元素逆元的环的唯一同态，这里$A$本身就包含了$S$中所有元素的逆元，所以$S^{-1}A$必然与$A$同构。这是因为局部化是满足泛性质的“最小”环，而$A$已经满足条件，所以它们只能是同构的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123
