关于余数定理证明的理解困惑求助

我最近在啃余数定理的证明，课本里的推导步骤是这样的：

Proof.
$p(x) = (x-a)q(x) + r(x)$

Rearranging, $r(x) = p(x) - (x-a)q(x)$

Plug $x=a$, $r(a) = p(a) - (a-a)q(x)$

$r(a) = p(a)$

但我总觉得这个推导只证明了当x=a这个特定取值时r(a)=p(a)，好像没完全把余数定理证透啊。不过教材里明确说这个证明是成立的，还补充了关键一点：因为$(x-a)$是一次多项式，所以余数$r(x)$必然是个常数，所以这个余数就恒等于$p(a)$。

道理我能听懂，但还是绕不过那个弯——感觉整个推导还是只盯着x=a的情况，没真正把定理的普遍性给证出来。有没有大佬能帮我捋明白？对了，我用的是A-level的教材。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者useruser334455