谱相同的两个对角矩阵是否相似？

嘿，这个问题得先把“谱相同”的定义掰扯清楚——你补充说明里提到，这里的谱相同只是指特征值的集合一致（每个A的对角元都能在B里找到，反过来也一样），但特征值的重数不一定相等，对吧？那答案就很明确了：不一定相似。

先给你理清楚核心逻辑：相似矩阵的一个关键性质是它们的特征多项式完全相同，而特征多项式的根就是特征值，根的重数也对应特征值的代数重数。如果两个矩阵的特征值重数不一样，那它们的特征多项式肯定不同，自然不可能相似。

举个具体的例子就明白了：比如在实数域上取3阶矩阵，A是

[[1, 0, 0],
 [0, 1, 0],
 [0, 0, 2]]

它的特征值是1（重数2）、2（重数1）；而B是

[[1, 0, 0],
 [0, 2, 0],
 [0, 0, 2]]

特征值是1（重数1）、2（重数2）。这两个矩阵的特征值集合都是{1,2}，符合你说的“谱相同”，但它们的特征多项式分别是$(x-1)^{2(x-2)$和$(x-1)(x-2)}2$，完全不一样，所以不存在可逆矩阵U使得$A=UBU^{-1}$。

不过要是你说的“谱相同”是包括重数的（也就是特征值的多重集合一致，对角元只是顺序不同），那情况就不一样了——这时候只要取一个置换矩阵U（就是把单位矩阵的行/列换顺序得到的矩阵），就能把B的对角元置换到A的顺序，而置换矩阵是可逆的（它的逆就是自己的转置，也是置换矩阵），这时候$UBU^{-1}=A$，两者自然相似。

总结一下：

• 如果只是特征值集合相同（重数不同）：不一定相似，大部分情况都不相似；
• 如果是特征值连同重数都相同（对角元是对方的置换）：一定相似，用置换矩阵就能实现变换。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathlover