求证渐近等价函数的差分绝对值平均值的渐近等价性

先把问题清晰表述出来：假设当 $n\to\infty$ 时，$f(n)\sim g(n)$（即 $\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$），那么是否必然有
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n|f(k+1)-f(k)|\sim\frac{1}{n}\sum_{k=1}}n|g(k+1)-g(k)|$$
在 $n\to\infty$ 时成立？

我直觉上认为这个结论应该是对的——既然两个函数渐近等价，那它们差分绝对值的平均值也应该渐近趋于相同的结果，但我一直没法把这个直觉转化为严谨的证明过程。我原本的思路是：如果上面的结论成立，那么两边同时乘以 $n$ 后，也应该有 $\sum_{k=1}^{n|f(k+1)-f(k)|\sim\sum_{k=1}}n|g(k+1)-g(k)|$，但这条路径似乎走不通，没有带来任何实质性的进展。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1280667