关于群论短正合序列中映射到生成元的元素有限阶的疑问及相关证明细节探讨

我最近在解决一个群论问题，背景设定是这样的：给定群$G$，存在短正合序列：
$$
0 \rightarrow \mathbb{Z}/2 \rightarrow G \rightarrow^{\varphi} \mathbb{Z}/k \rightarrow 0
$$
假设$\varphi(g) = 1$（其中$g \in G$），那么$g$的阶要么是$k$要么是$2k$。

我看过的解答逻辑大体能理解，但里面似乎隐含了一个关键假设——$g$是有限阶元，这正是我搞不清楚的地方。下面是我目前能梳理明白的推导过程，其中标粗的是我觉得有问题的步骤：（注：我在$\mathbb{Z}/k$里用了乘法记号，虽然这个群是交换群，用乘法不太标准，但这样我更容易理解部分推导步骤）

• 设$n = |g|$是$g$在$G$中的阶，那么$g^n = e$，所以$\varphi(g^n) = \varphi(g)^n = 1^n = 0$。这说明$\mathbb{Z}/k$中元素$1$的阶整除$n$，而$1$的阶是$k$，因此$k \mid n$。
• 这个短正合序列意味着$G$包含一个同构于$\mathbb{Z}/2$的正规子群$K$，且$G/K \cong \mathbb{Z}/k$。由此可得$|G/K| = |\mathbb{Z}/k| = k$，又因为$K \cong \mathbb{Z}/2$，所以$|K|=2$。根据拉格朗日定理：
  $$
  |G/K| = \frac{|G|}{|K|} = \frac{|G|}{2} = k
  $$
  因此$|G|=2k$。
• 由于$g \in G$，根据拉格朗日定理，$|g|$整除$2k$。结合之前的结论$k \mid |g|$，那么$|g|$的可能取值就只有$k$或者$2k$了。

我觉得这个推导里的好几步都依赖于$g$是有限阶元，或者更本质地，$G$是有限群——如果$G$有限的话，$g$自然是有限阶的，但我不确定为什么$G$一定是有限群？

另外，我对短正合序列的定义是这样的：

• 映射$f: \mathbb{Z}/2 \to G$是单射（$\text{ker}(f) = {0}$）
• 映射$\varphi: G \to \mathbb{Z}/k$是满射
• $\text{Im}(f) = \text{ker}(\varphi)$

按这个定义，确实存在一个同构于$\mathbb{Z}/2$的正规子群$K$，且$G/K \cong \mathbb{Z}/k$。解答里直接选了$\varphi$的核作为$K$，核肯定是正规子群，但我不太明白为什么一定要选核？还是说这只是个方便的选择？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Valor Vaporeon