关于概形仿射态射的证明：仿射开子概形的原像为仿射概形

嘿，我来给你梳理几个不用拟凝聚层或者纤维积的思路提示，完全从你已有的知识出发一步步推进～

• 首先先给所有涉及的概形配上对应的环：既然V是仿射开子概形，那我们可以设 ( V = \text{Spec}(B) )；对于Y的仿射开覆盖里的每个 ( U_i )，设 ( U_i = \text{Spec}(C_i) )，而你已经知道 ( f^{-1}(U_i) = \text{Spec}(A_i) )，那么f在 ( U_i ) 上的限制态射，对应环同态 ( \varphi_i: C_i \to A_i )（毕竟仿射概形之间的态射和环同态是反向对应的）。
• 接下来分析 ( V \cap U_i )：它既是 ( \text{Spec}(C_i) ) 里的开子集，也是 ( \text{Spec}(B) ) 里的开子集。在仿射概形中，任何开子集都可以写成主开集的并——比如在 ( \text{Spec}(C_i) ) 里，( V \cap U_i = \bigcup_j D_{C_i}(g_{ij}) )，其中 ( g_{ij} \in C_i )，每个 ( D_{C_i}(g_{ij}) = \text{Spec}(C_i[g_{ij}^{-1}]) ) 都是仿射的；同理在 ( \text{Spec}(B) ) 里它也能写成主开集的并。
• 然后看这些主开集的原像：对于主开集 ( D_{C_i}(g_{ij}) )，它的原像 ( f^{-1}(D_{C_i}(g_{ij})) = \text{Spec}(A_i[\varphi_i(g_{ij})^{-1}]) )，这肯定是仿射的——因为仿射概形的主开集对应环的局部化，原像就对应环同态局部化后的Spec，自然也是仿射的。现在你就得到了 ( f^{-1}(V) ) 的一个仿射开覆盖。
• 接下来的核心目标是：找到一个环 ( A )，使得 ( f^{-1}(V) \cong \text{Spec}(A) )。这里可以取 ( A = \Gamma(f^{-1}(V), \mathcal{O}_{f^{-1}(V)}) )，也就是这个概形的整体结构层截面环。你需要验证两件事：
  • 对于覆盖中的每个仿射开集 ( W = \text{Spec}(A') )，自然映射 ( A \to \Gamma(W, \mathcal{O}_W) = A' ) 是同构；
  • 这些 ( W ) 在 ( \text{Spec}(A) ) 中对应的开子集正好覆盖整个 ( \text{Spec}(A) )，从而能把这些局部的同构粘合成全局的同构 ( f^{-1}(V) \cong \text{Spec}(A) )。
• 最后补一个关键的粘合逻辑：Y中 ( V ) 和 ( U_i ) 的交集里，B中的元素和C_i中的元素在交集中的限制是一致的，拉回之后，这些元素在A_i中的截面也会有对应的一致性，这就保证了各个A_i中的局部截面可以被粘合成全局的A中的截面，反过来A中的截面限制到每个A_i里也是合法的局部截面。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Asvr_esn