全局一致性优化中Lagrange乘子的相关技术问题问询

先来梳理下我遇到的这个凸优化问题背景：

我们有如下凸优化问题：
$$\text{minimize} ~ \sum_{i=1}^N f_i(x) ~ \text{ s.t. } ~ x \in X,$$
其中$X$是一个$m$维凸集，每个$f_i$都是凸函数。

我们可以把它改写为如下形式：
$$\text{minimize} ~ \sum_{i=1}^N f_i(x_i) ~ \text{ s.t. } ~ x_i \in X ~ \text{ and } ~ x_i = z ~\forall i.$$
这就是全局一致性问题（参考《Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers》的第7章）。

对应的部分增广拉格朗日函数为：
$$L_\rho(x, z, y) = \sum_{i=1}^N\left( f_i(x_i) + y_i^T (x_i - z) + \rho/2 \Vert x_i - z \Vert_2^2 \right).$$

假设$(x^, z^, y^{*)$是这个问题的最优解，我们已经知道对所有$i$都有$x_i}* = z^*$。

现在我有几个疑问想请教：

• 是不是一定有$y_i^* = 0_m$？
• 如果不是的话，能不能证明$\sum_i y_i^* = 0_m$？另外，当$X = { x \in [0, 1]^m : \Vert x \Vert_1 \le 1}$时，关于$\Vert y_i^* \Vert_2$我们能得出什么结论？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者smz