关于复环面第一陈类计算及相关卡拉比度量问题的技术咨询与资源推荐请求
大家好，我最近对Calabi-Yau流形产生了浓厚的兴趣，一直在研读Andrei Moroianu的《Lectures on Kähler Geometry》，也找了不少线上资料，但现在卡在了细节里，尤其是第一陈类的计算这块，完全摸不着头绪，实在太不直观了。
先把我目前接触到的相关定义列出来，方便大家理解我的困惑：
Proposition 16.1：对光滑流形$M$上的任意复向量丛$E$，都可以关联一个上同调类$c_1(E) \in H^2(M, \mathbb{Z})$，称为$E$的第一陈类，它满足以下公理：
(1) 自然性：对任意光滑映射$f: M \rightarrow N$，以及$N$上的复向量丛$E$，有$f*\left(c_1(E)\right)=c_1\left(f* E\right)$，其中左边是上同调中的拉回，$f^* E$是拉回丛，定义为$f^* E_x=E_{f(x)}, \forall x \in M$。
(2) Whitney和公式：对$M$上的任意丛$E, F$，有$c_1(E \oplus F)=c_1(E)+c_1(F)$，其中$E \oplus F$是$M$到$M \times M$的对角嵌入对丛$E \times F \rightarrow M \times M$的拉回。
(3) 正规化：$\mathbb{CP}^1$上的 tautological 丛的第一陈类在$H2\left(\mathbb{CP}1, \mathbb{Z}\right) \simeq \mathbb{Z}$中等于-1，即该类的任意代表元在$\mathbb{CP}^1$上的积分等于-1。
还有一个用曲率形式定义的全陈类：
设$E$是流形$M$上的复向量丛，$F=dA+A\land A$是$E$上联络$A$的曲率2-形式，我们定义全陈类$c(E)=\det(1+\frac{i}{2\pi}F)=1+c_1(E)+\cdots$，其中$c_k(E)\in H^{2k}(M,\mathbb R)$。
为了突破这个瓶颈，我打算缩小研究范围，专注啃一个具体例子来建立直观理解和学习动机（不然总觉得陷在抽象细节里永远完不成目标）。我选的研究对象是复环面，我的核心目标是证明：复环面存在第一陈类为零的卡拉比度量。
但可惜我翻了好多资料，都找不到针对复环面、详细讲解这些概念和证明过程的内容。真心希望各位能给我推荐一些覆盖这些内容的优质资料，提前谢谢大家了！🙏
备注：内容来源于stack exchange，提问作者N00BMaster
