已知不等式的加强版：寻求更简洁的证明方法

当 $a\ge b\ge c > 0$ 时，有如下加强不等式：

$$
\begin{split}
\frac{(a-b)^2}{(a+b)} + \frac{(b-c)^2}{(b+c)} & \ge \sqrt{3(a^2+b2+c^2)}- (a+b+c) \
&\ge \frac{(a-b)^2}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}a+\frac{5-\sqrt{3}}{2} b} +\frac{(b-c)^2}{(1+\sqrt{\frac{3}{2}})b+(2-\sqrt{\frac{3}{2}}) c}
\end{split}
$$

这是对某一已有不等式的强化结果。

推导细节说明 #

• 右侧不等式的构造思路：我通过特定方式选取分母系数得到了右侧不等式。做变量替换 $a=u+v+w$, $b=u+v$, $c=u$ 后，让两边平方差的分子中所有 $u$、$v$、$w$ 的单项式系数均非负——这就是大家熟知的Buffalo方法（不过Adolf Hurwitz早在多年前就用过类似思路了）。分母的可选系数构成了一个结构简单的凸集（实际是乘积形式），我选择的系数是该凸集的顶点值。这种方法可以推广到任意 $n$ 个变量的场景，对应的公式并不复杂。
• 左侧不等式的构造思路：左侧不等式是我通过数值优化得到的，没法用上面的方法推导。

关于代数不等式的通用思考 #

我们可以构造大量半代数集上代数函数极值相关的不等式。在固定维度下，理论上可以用实代数数给出答案（若解存在）。但如果涉及任意 $n$ 个变量，情况会变得复杂很多。不过也有部分不等式（比如均值不等式、Newton-Maclaurin不等式等）对所有 $n$ 都成立，但显然没法覆盖所有场景。

目前我还没想到更简洁的证明方式，欢迎各位大佬提供反馈！

另外，之前版本的左侧不等式存在错误，感谢@River Li指出了这个问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者orangeskid