关于Serin Hong的p进霍奇理论笔记中p进表示的ℚₚ-可容许性的疑问

嘿，这个问题抓得非常准——你完全戳中了一个很容易出现术语混淆或笔误的点，先给你点个赞！

首先，你的推导逻辑是完全没问题的：如果按照标准定义，$D_{\mathbb{Q}p}(V)=(V\otimes{\mathbb{Q}_p}\mathbb{Q}_p)^{G_K}=V{G_K}$，那只有当$V$是平凡表示时才会有$V^{G_K}=V$，显然不可能所有$p$-adic表示都满足这个条件。所以你对这个说法的质疑是合理的。

那问题出在哪呢？通常有两种可能性：

• 笔记存在笔误或定义省略：可能Serin Hong这里的$D_{\mathbb{Q}p}$并不是你理解的$G_K$-不变量函子，而是笔误写成了$\mathbb{Q}p$，实际应该是某个$p$-adic周期环（比如$B{\text{cris}}$、$B{\text{dR}}$这类）；或者上下文里的$D_{\mathbb{Q}_p}$有特殊定义——比如有些文献会把“$\mathbb{Q}_p$-可容许”定义为所有有限维$\mathbb{Q}p$-向量空间上的$G_K$表示，这时候$D{\mathbb{Q}_p}$被直接定义为恒等函子，但这和标准的$p$-adic Hodge理论里的迪厄多内函子定义完全不同。
• 术语语境差异：在$p$-adic Hodge理论里，“可容许”这个词通常和特定的周期环绑定（比如$B_{\text{cris}}$-可容许、$B_{\text{st}}$-可容许），这些表示要求对应的迪厄多内函子给出有限维向量空间，并且表示可以由这个函子的结果“恢复”。但如果Serin Hong这里的“$\mathbb{Q}_p$-可容许”是自己定义的宽松版本（比如仅要求表示是有限维$\mathbb{Q}_p$-向量空间），那“所有$p$-adic表示都是$\mathbb{Q}p$-可容许”的说法才成立，但此时说$D{\mathbb{Q}_p}$是恒等函子就只是他自己的定义约定，而非标准定义。

总的来说，你不需要怀疑自己的推导——这个说法要么是笔记里有表述错误/定义混淆，要么是有特殊的上下文约定没有写清楚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kevin