局部环的商环同构性问题

嘿，这个问题在学习概型的局部环和切空间的时候确实很容易碰到，我来给你梳理清楚～

首先明确结论：作为环的话，这个同构一般不成立，但在一些特殊场景下是成立的。我们分两部分来说：

为什么一般不成立？ #

举个最直观的例子：取局部环 ( R = \mathbb{Z}_{p^2} )（也就是模 ( p^2 ) 的整数环，( p ) 是素数），它的唯一极大理想 ( m = (p) )。

• 计算 ( R/m^2 )：其实就是 ( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} )，这个环里有个元素 ( p )，满足 ( p^2 = 0 )，而且它是“非平凡”的零因子（不是零元，但平方是零）。
• 再看 ( R/m \oplus m/m^2 )：( R/m = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )，( m/m^2 = p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )，所以直和就是 ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} )。这个环里任何元素的平方要么是零元，要么是自身（因为域里的非零元平方还是非零元），根本找不到一个元素满足“平方为零但自身非零”。

显然这两个环的结构完全不同，所以作为环它们不同构。

不过要注意：作为 ( R/m )-向量空间，这两个空间总是同构的——因为它们的维度都是 ( 1 + \dim_{R/m}(m/m^2) )，只是环结构不一样。

什么时候同构成立？ #

当局部环 ( R ) 存在一个环截面的时候，也就是存在一个环同态 ( s: R/m \to R )，使得 ( \pi \circ s = \text{id}_{R/m} )（这里 ( \pi: R \to R/m ) 是商映射）。

这种情况下我们可以直接构造同构映射：

• 正向映射：( R/m^2 \to R/m \oplus m/m^2 )，把 ( r + m^2 ) 映射到 ( (\pi(r), r - s(\pi(r)) + m^2) )
• 逆向映射：( R/m \oplus m/m^2 \to R/m^2 )，把 ( (a, u + m^2) ) 映射到 ( s(a) + u + m^2 )

验证一下就知道这两个映射都是环同态且互为逆映射。

哪些局部环满足这个条件呢？比如：

• 正则局部环（比如域上的多项式环的局部化、形式幂级数环 ( k[[x_1,...,x_n]] )），它们天然能把剩余域的元素嵌入到环里作为常数项；
• 域上的代数局部环，同样可以找到这样的截面。

总结一下：向量空间层面总是同构，但环层面只有当局部环有剩余域的截面时才同构，一般情况不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KAK