关于最优值$K_n$的次线性增长性证明思路问询

大家好，我最近在研究一个优化问题的渐近行为，想请教各位有没有可行的思路：

对于常数$C>0$，我关注当$n \to \infty$时，以下最优值的增长趋势：
$$ K_n = \max_{p \in [0,1]^n} \quad p_1 C + \sum_{j=1}^n \sqrt{1-p_j} \prod_{l=j+1}^np_l$$

我提出了两个猜想：

• 猜想1：$K_n$的增长是次线性的（即增长速度慢于$n$的线性增长）
• 猜想2：上述优化问题在$[0,1]^n$范围内仅有一个临界点

目前我已经做了一些初步验证工作：

• 针对$n=2,\dots,60$的情况做了数值求解，得到了最优值随$n$变化的曲线（曲线末尾的弯折是优化器的数值误差导致的），这为猜想1提供了数值支撑。
• 观察一阶条件的解时，猜想2看起来是成立的，但可惜我没能从这些方程中推导出解析解。

如果各位有任何能证明猜想1的思路，我都会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dawo