关于Montgomery与Vaughan《乘法数论I》中定理1.3证明的若干技术疑问

我来一步步拆解你提出的这些疑问，都是定理1.3证明里的核心细节，很值得抠透：

定理回顾 #

Theorem. 设 $A(x) := \sum_{n\le x} a_n$。若 $\sigma_c < 0$，则 $A(x)$ 是有界函数，且对 $\sigma > 0$ 有
$$\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = s\int_1^\infty A(x) x^{-s-1}, dx \tag{1}$$
若 $\sigma_c\ge 0$，则
$$\limsup_{x\to\infty} \frac{\log|A(x)|}{\log x} = \sigma_c \tag{2}$$
且式(1)对 $\sigma > \sigma_c$ 成立。

证明关键片段 #

先看证明里的分部积分核心步骤：
$$\begin{align*}
\sum_{n=1}^N a_n n^{-s} = \int_{1^-}N x^{-s}, dA(x) &= A(x) x^{-s}\vert_{1-}^N - \int_{1^-}N A(x), dx^{-s}\
&= A(N) N^{-s} + s\int_1^N A(x) x^{-s-1}, dx. \tag{3}
\end{align*}$$

疑问1：为什么式(3)中的第一项$A(N)N^{-s}$当$N\to\infty$时趋于0？ #

这里要结合我们对$\theta$的选取逻辑：我们取$\theta > \phi$（$\phi$是式(2)的左边，即$A(x)$的对数增长阶），此时有$A(x) \ll x^\theta$（也就是存在常数$C$，当$x$足够大时$|A(x)| \le C x^\theta$）。而我们又取了$\sigma > \theta$，那代入第一项得：
$$|A(N)N^{-s}| \ll N^\theta \cdot N^{-\sigma} = N^{\theta - \sigma}$$
因为$\theta - \sigma < 0$，当$N\to\infty$时，指数为负的项必然趋于0。哪怕我们一开始不知道$A(N)$有界，只要它的增长速度比$N^\sigma$慢（这里$\sigma > \theta$，$A(N)$最多是$N^\theta$量级），这个乘积就会趋近于0。

疑问2：当$\sigma_c < 0$时，如何推出$\phi \le 0$且式(1)对所有$\sigma > 0$成立？ #

首先，$\sigma_c$是狄利克雷级数$\sum a_n n^{-s}$的收敛横坐标——也就是使得级数在$\sigma > \sigma_c$时收敛的最小实数。$\sigma_c < 0$意味着这个级数在$s=0$处是收敛的（因为$0 > \sigma_c$），而$s=0$对应的级数就是$\sum_{n=1}^\infty a_n$，它收敛的话，部分和$A(x) = \sum_{n\le x}a_n$就会趋于一个有限极限，那$A(x)$肯定是有界的。

接下来看$\phi$的定义：$\phi = \limsup_{x\to\infty} \frac{\log|A(x)|}{\log x}$，有界函数的对数增长速度肯定赶不上$\log x$，所以$\frac{\log|A(x)|}{\log x}$的上极限必然$\le 0$，也就是$\phi \le 0$。

然后看式(1)，对任意$\sigma > 0$，此时$\sigma > 0 \ge \phi$，套用疑问1的逻辑：$A(N)N^{-s} \ll N^{0} \cdot N^{-\sigma} = N^{-\sigma} \to 0$，同时积分$\int_1^\infty A(x)x^{{-s-1}dx$绝对收敛（因为$A(x)$有界，$x}{-s-1}$在$[1,\infty)$上可积），所以让$N\to\infty$就能得到式(1)对所有$\sigma > 0$成立。

疑问3：当$\sigma_c \ge 0$时，如何得到$\phi \ge \sigma_c$？ #

这里用反证法最直观：假设$\phi < \sigma_c$，那我们可以取一个$\theta$满足$\phi < \theta < \sigma_c$。根据$\phi$的定义，$A(x) \ll x^\theta$，那对$\sigma > \theta$，式(1)的积分就绝对收敛，再通过式(3)让$N\to\infty$，第一项趋于0，就能推出狄利克雷级数在$\sigma > \theta$时收敛。但$\theta < \sigma_c$，这和$\sigma_c$是最小的收敛横坐标矛盾了——因为我们找到了一个比$\sigma_c$更小的数$\theta$，使得级数在$\sigma > \theta$时收敛，这不符合收敛横坐标的定义。所以假设不成立，必须有$\phi \ge \sigma_c$。

疑问4：从$A(N) \ll N^{\sigma_0}$怎么推出$\phi \le \sigma_0$？ #

回忆$\phi$的定义：$\phi = \limsup_{x\to\infty} \frac{\log|A(x)|}{\log x}$。$A(N) \ll N^{\sigma_0}$意味着存在常数$C > 0$，当$N$足够大时，$|A(N)| \le C N^{\sigma_0}$。两边取自然对数（因为$N$足够大时$|A(N)| > 0$）：
$$\log|A(N)| \le \log C + \sigma_0 \log N$$
两边除以$\log N$（$N\to\infty$时$\log N > 0$）：
$$\frac{\log|A(N)|}{\log N} \le \frac{\log C}{\log N} + \sigma_0$$
当$N\to\infty$时，$\frac{\log C}{\log N}$会趋近于0，所以上式的上极限（也就是$\phi$）必然$\le \sigma_0$——因为上极限是所有子列极限的上确界，每个子列的极限都不会超过$\sigma_0$，所以整体的上极限也不可能超过$\sigma_0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago