在线游戏场景下多项分布的试验次数求解问题

嘿，这个问题其实可以看成是游戏里的「收集稀有道具」场景——24种稀有道具，每次抽卡有1/465的概率拿到其中一种，剩下的概率都是抽到常见道具，现在要算抽多少次卡，才能保证所有24种稀有道具都至少拿到一次的概率分别达到75%和95%，对吧？

核心思路：用近似方法简化计算 #

因为24种稀有道具的概率都很小，总概率只有24/465≈5.16%，大部分时候抽到的都是常见道具，我们可以用两种简单的近似思路来计算：

思路1：转化为「有效抽卡」的优惠券收集问题

我们把每次抽到稀有道具的情况称为「有效抽卡」，有效抽卡的总概率是24/465，那么n次总抽卡中，有效抽卡的次数t≈n*(24/465)。

而经典优惠券收集问题里，要收集齐m种道具，t次有效抽卡后收集全的概率，当t较大时可以近似为：
1 - m*e^(-t/m)
这里m=24，代入目标概率计算：

• 当概率为0.75时：
  1 - 24*e^(-t/24) = 0.75
  解这个方程得t≈109.5，再换算回总抽卡次数n：
  n = t*(465/24) ≈ 109.5*19.375 ≈ 2122

• 当概率为0.95时：
  1 - 24*e^(-t/24) = 0.95
  解得t≈148.2，换算后n≈148.2*19.375≈2871

思路2：直接用单道具未出现的概率近似

另一种更直接的近似方式：先算某个特定稀有道具一次都没抽到的概率是(464/465)^n，用容斥原理的前两项近似（因为高阶项影响极小），所有稀有道具都至少出现一次的概率可以写成：
P ≈ 1 - 24*(464/465)^n

代入目标概率计算：

• 0.75的情况：24*(464/465)^n = 0.25，取对数后解得n≈2122，和思路1结果完全一致
• 0.95的情况：24*(464/465)^n = 0.05，解得n≈2871，同样和思路1结果匹配

结果刻画 #

这个问题本质是优惠券收集问题的变种，区别在于每次试验有很高概率拿到「无效」物品（即最后一种结果）。我们的近似结果误差极小，因为当n足够大时，容斥原理的高阶项（比如同时两个道具没出现的概率）会非常小，完全可以忽略不计。如果需要极致精确的结果，可以用容斥原理的完整表达式迭代计算，但近似值已经足够满足绝大多数场景的需求了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fGDu94