利用控制收敛定理证明Lᵖ(Ω)=U(Ω)的相关疑问

设$\Omega \subset \mathbb{R}^{n$是开集，考虑通常的Lebesgue空间$L}p(\Omega)$，另外定义空间：
$$ U(\Omega) = \left{ f \in L^p(\Omega) , \colon , \lim_{r \to 0} , \sup_{x \in \mathbb{R}^n} , \int_{B(x,r) \cap \Omega} |f(y)|^p , dy = 0 \right} .$$

我的目标是用控制收敛定理（DCT）证明$L^p(\Omega) = U(\Omega)$。

我的尝试 #

显然$U(\Omega) \subset L^p(\Omega)$是由定义直接可得的。反过来，任取$f \in L^p(\Omega)$，要证明$f \in U(\Omega)$，只需要证：
$$ \lim_{r \to 0} , \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \int_{B(x,r) \cap \Omega} |f(y)|^p , dy = 0. $$

对任意$x \in \mathbb{R}^n, r > 0$，我们有：
$$ \int_{B(x,r) \cap \Omega} |f(y)|^p , dy = \int_{\mathbb R^n}|f(y)|p \chi_{B(x,r) \cap \Omega}(y) , dy. $$

现在我遇到了两个问题：

疑问1：如何处理上确界$\sup_{x \in \mathbb{R}^n}$ #

我觉得在应用控制收敛定理之前应该先想办法消去这个上确界，但一直没找到合适的方法，想请教下该怎么处理？

疑问2：控制收敛定理在极限趋于0时的应用 #

我看到过一些相关讨论，核心思路是用极限的序列形式来推导结论，我大概理解这个逻辑，但有个更偏向实践的问题：在学术论文或者教材里，大家处理这种极限趋于0的控制收敛定理应用时，是会明确写出用序列形式来转化，还是直接找到控制函数后就把趋于0的极限直接移到积分里面去？

麻烦各位帮忙解答下，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xyz