关于Mertens定理渐近等价拟合的疑问

嘿，这个问题其实挺典型的——渐近等价说的是当n趋向无穷大时的长期趋势，但在有限的n值范围内，偏差可能会大到让你误以为拟合错了。咱们慢慢理清楚：

首先再明确下Mertens定理的核心：

$$ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\ln(p_n)} \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}} = M \approx 1.781072\dots $$
这里的M是Mertens常数，定理想表达的是：当n足够大时，左边的比值会无限接近M，也就是：
$$ \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}} \sim M \cdot \ln(p_n) $$

那为什么你用1.78在Desmos里拟合时，看起来完全不相似呢？主要有两个关键原因：

• 收敛速度极慢：
  Mertens定理的收敛速度非常慢，要让左边的比值接近1.78，需要n取到几十万甚至上百万的量级。在较小的n时，这个比值其实远大于1.78——比如n=10时，p₁₀=29，乘积≈3.14，而1.78ln(29)≈6.0，差距明显；n=100时，p₁₀₀=541，乘积≈4.82，1.78ln(541)≈11.2，还是差很多。只有当n足够大，这个比值才会慢慢向1.78靠拢。

• 渐近式的展开细节被忽略：
  你提到pₙ ~ n ln n，那ln(pₙ)其实可以展开为ln(n ln n) = ln n + ln ln n。所以乘积的渐近式完整写出来是：
  $$ \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}} \sim M(\ln n + \ln ln n) $$
  在n不太大的时候（比如n<1000），ln ln n的项虽然最终会趋近于0，但它的影响还不能忽略，这也会让1.78*ln(pₙ)和实际乘积的差距看起来很大。

至于你试的6.6，它只是小n范围内的经验拟合值——在你画图的有限区间里，它刚好和乘积更接近，但完全不符合无穷远处的趋势。当n趋向无穷时，6.6*ln(pₙ)会比乘积大得越来越多，而1.78的拟合会逐渐跟上乘积的增长节奏。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kodar