关于等价类不相交性证明的疑问及示例困惑
嘿，我来帮你理清这个困惑！你的问题核心在于对「等价类」的定义理解有偏差，咱们一步步拆解清楚：
原证明的正确性
首先，先把你提到的原证明再明确一下，这个证明本身是完全严谨的：
假设我们有两个等价类 $[a] \neq [b]$，要证明它们不相交。假设存在 $x \in [a] \cap [b]$，那么 $x \sim a$ 且 $x \sim b$。根据等价关系的对称性，$a \sim x$，再结合传递性，就能推出 $a \sim b$。而根据等价类的定义，若 $a \sim b$，则 $[a] = [b]$，这和前提 $[a] \neq [b]$ 矛盾，因此假设不成立，两个等价类必然不相交。
这个证明的前提是：$[a]$和$[b]$都是严格意义上的等价类——这是关键，也是你示例出错的地方。
你的示例问题出在哪？
你举的例子里，$A = [2] \cup [3]$ 根本不是一个等价类！咱们结合模3同余的等价关系来分析：
- $[2]$ 是所有模3余2的数（比如2、5、8...），$[3]$ 是所有模3余0的数（比如3、6、9...）
- 但 $2$ 和 $3$ 模3不同余，也就是 $2 \not\sim 3$，这意味着$A$里存在两个元素互相不等价，这直接违反了等价类的核心定义。
你教材里提到的“$\forall x \in A$, if $x \sim y$, $y \in A$”只是等价类的必要条件（等价类必须满足这个封闭性），但不是充分条件。等价类的完整严格定义应该是：
对于集合$S$上的等价关系$\sim$，元素$a \in S$的等价类$[a]$是集合 ${ x \in S \mid x \sim a }$——也就是所有和$a$等价的元素组成的集合。
按照这个定义，你找不到任何一个元素$a$能让$A = [a]$：$a$要么模3余2（此时$[a]=[2]$），要么余0（$[a]=[3]$），要么余1（对应另一个完全不同的等价类），根本不存在这样的$a$使得$[a]$是$[2]$和$[3]$的并集。所以$A$不是等价类，自然不能用原证明的结论来讨论它和$[2]$的关系。
为什么原证明成立？
原证明的逻辑完全基于等价类的严格定义：
- 如果两个等价类有交集，说明存在元素同时属于两个类，也就是这个元素和两个类的代表元都等价；
- 结合等价关系的对称性和传递性，两个代表元必然互相等价；
- 而如果两个元素等价，它们的等价类就是完全相同的（因为所有和$a$等价的元素，必然也和$b$等价，反之亦然）。
所以结论就是：任意两个真正的等价类，要么完全相等，要么完全不相交——这是等价关系划分集合的核心性质。
如何修正你的直觉？
可以把等价类理解成对原集合的「无重叠拆分」：
- 每个元素恰好属于一个等价类（就是它自己的等价类）；
- 不同的等价类之间没有任何重叠（也就是不相交）；
- 所有等价类的并集就是原集合本身。
你的困惑本质是把一个「不是等价类的集合」误当成了等价类来讨论，只要牢牢抓住等价类的定义（由某个代表元的所有等价元素组成），就能避开这个误区啦。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vector
