关于Dummit & Foote《抽象代数》第3版2.3节定理7(2)的严谨证明咨询
我现在想要证明Dummit & Foote《抽象代数》第3版2.3节里的定理7(2)，这个定理的具体内容是：
设$H = \langle x \rangle$是循环群。若$|H| = \infty$，则对于任意不同的非负整数$a$和$b$，$\langle x^a \rangle \neq \langle x^b \rangle$。此外，对任意整数$m$，$\langle x^m \rangle = \langle x^{|m|} \rangle$（其中$|m|$表示$m$的绝对值），因此$H$的非平凡子群与正整数$1, 2, 3, \ldots$之间存在一一对应。
我自己尝试写了一份证明，但总感觉不够严谨，好像漏掉了关键的逻辑环节，我的尝试过程如下：
假设$|H| = \infty$，且对于不同的非负整数$a$和$b$有$\langle x^a \rangle = \langle x^b \rangle$。根据命题2(2)，这意味着$x^a \neq x^b$；而$|H| = \infty$也说明$xa$和$xb$是不同的元素，所以$\langle x^a \rangle \neq \langle x^b \rangle$。另外，对于任意$m \in \mathbb{Z}$，$\langle x^m \rangle = \langle x^{-m} \rangle$，所以$\langle x^m \rangle = \langle x^{|m|} \rangle$。
这里引用到的命题2(2)内容为：
若$|H| = \infty$，则对所有$n \neq 0$有$x^n \neq 1$，且对所有$\mathbb{Z}$中不同的$a$和$b$有$x^a \neq x^b$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1181399
