集合论表达式$(A^c\setminus B^c)^c\cap (A\cup B)$的化简问题

嘿，我来一步步帮你搞定这个集合论表达式的化简～先明确前提：$A, B$都是非空集合，且都是全集$E$的子集。

我们可以用元素法来推导——假设$x$是这个交集里的任意元素，那意味着两个条件同时成立：$x\in (A^c\setminus B^c)c$，且$x\in (A\cup B)$。

首先处理$(A^c\setminus B^c)$这个部分：根据集合差集的定义，$X\setminus Y = X\cap Y^{c$，所以这里$A}c\setminus B^c = A^c\cap (B^c)c = A^c\cap B$。那它的补集就是：
$$(A^c\setminus B^c)c = (A^c\cap B)^c$$

接下来结合两个条件分析$x$的归属：

• 由$x\in (A^c\cap B)^{c$可知，$x$**不属于**$A}c\cap B$，也就是$x$要么不在$A^c$里（即$x\in A$），要么不在$B$里（即$x\in B^c$）；
• 同时$x\in A\cup B$，说明$x$要么在$A$里，要么在$B$里。

把这两个条件结合起来看：如果$x$在$B$里，那它就属于$A^c\cap B$，这和$x\in (A^c\cap B)^c$矛盾，所以$x$肯定不在$B$里（即$x\in B^c$）。既然$x\in B^c$，再结合$x\in A\cup B$，那$x$只能在$A$里（即$x\in A$）。

所以综合起来，$x$必须同时属于$A$和$B^c$，也就是$x\in A\cap B^c$。

反过来验证一下：如果$x\in A\cap B^c$，那显然$x\in A\cup B$；同时$x\notin A^c$也$\notin B$，所以$x\notin A^c\cap B$，也就是$x\in (A^c\cap B)^c=(Ac\setminus B^c)c$，满足交集的两个条件。

因此最终的化简结果就是：
$$(A^c\setminus B^c)c\cap (A\cup B) = A\cap B^c$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1280689