关于方程$x^2+ay^2=b^2$非平凡解的技术问询

咱们先把问题拆解清楚：题目里提到的平凡解是$(b,0)$和$(-b,0)$，那非平凡解就是不满足这两个点的所有解，也就是$y≠0$的解。接下来咱们分情况讨论参数$a$和$b$的取值，不同的参数会让方程对应的曲线类型完全不同，非平凡解的情况也随之变化：

• 当$b=0$时：
  方程简化为$x^2 + ay^2 = 0$，这时候要分$a$的正负来看：

  • 若$a>0$：只有$(0,0)$这一个解，不存在非平凡解；
  • 若$a=0$：方程变为$x^2=0$，即$x=0$，此时非平凡解是所有$y≠0$的点$(0,y)$；
  • 若$a<0$：令$a=-k$（$k>0$），方程变为$x^2 - ky^2=0$，即$x=±\sqrt{k}y$，所有不在原点的点都是非平凡解。

• 当$b≠0$时：
  我们可以把方程变形来分析：

  • 若$a>0$：方程可改写为$\frac{x^2}{b2} + \frac{y^2}{b2/a} = 1$，这是一个椭圆（当$a≠1$时）或圆（当$a=1$时）。非平凡解就是这个椭圆/圆上除了$(±b,0)$之外的所有点，具体可以表示为$x=±\sqrt{b^2 - ay^2}$，其中$y∈(-\frac{|b|}{\sqrt{a}}, \frac{|b|}{\sqrt{a}})$且$y≠0$。
  • 若$a=0$：方程变为$x^2 = b^2$，即$x=±b$，此时非平凡解是所有$y≠0$的点$(±b,y)$，也就是两条垂直于$x$轴的直线上除了平凡解之外的所有点。
  • 若$a<0$：令$a=-k$（$k>0$），方程改写为$\frac{x^2}{b2} - \frac{y^2}{b2/k} = 1$，这是一个双曲线。非平凡解就是双曲线上的所有点（因为双曲线的解中$y=0$时正好是平凡解$(±b,0)$），具体可表示为$x=±\sqrt{b^2 + ky^{2}$（$y≠0$），或者$y=±\sqrt{\frac{x}2 - b^2}{k}}$（$|x|>|b|$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jishu Das