关于斜对称二阶张量的指数映射为旋转张量的证明问询

我最近在学习张量的指数映射相关内容，遇到了一个定理的证明难题，想请教大家：

首先明确相关定义：

设$W$是斜对称二阶张量，即从向量空间$V\to V$的线性映射，满足$W^T=-W$，其中张量的转置定义为满足如下性质的唯一张量：
$$(Wu)\cdot v=u\cdot (W^Tv) ; \text{for all} ; u,v\in V.$$

二阶张量的指数函数由无穷级数定义：
$$\exp S= \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} S^j.$$

我要证明的定理是：若$W$是斜对称二阶张量，则$\exp W$是旋转张量，即满足两个核心条件：
$$(\exp W)^T (\exp W)=I ; \text{and} ; \det(\exp W)=1.$$

目前我还找不到这个定理的完整证明路径，有几个具体的疑问点卡壳了：

• 第一，我知道应该有$\exp(W^T)=(\exp W)^T$这个结论，但怎么从指数映射的原始定义出发证明？也就是如何对所有$u,v \in V$，验证$(\exp W)u \cdot v = u \cdot (\exp W^T)v$成立？
• 第二，从指数映射的无穷级数定义出发，怎么推导$\exp(W^T) \exp(W)=I$这个正交性条件？
• 第三，怎么证明$\exp W$的行列式等于1？我猜想需要用到线性映射指数的矩阵表示——应该是$\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} A^j$（其中$A$是$W$的矩阵表示），而且斜对称矩阵的对角线元素都是0，可能以此推出行列式为1，但我不知道怎么严格证明“线性映射的指数的矩阵表示等于其矩阵表示的指数”这一步。

希望能得到大家的帮助，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nomadicmathematician