局部Hausdorff条件下k-空间不同定义的等价升级判定及相关结论

紧生成空间（也常被称为k-空间）在拓扑学领域有几种不同的定义表述，这里我们先明确三个核心定义（用$CG_1$、$CG_2$、$CG_3$标记）：

• $CG_1$：空间$X$与它的所有紧子空间是相容的，即：一个子集$A \subseteq X$是闭集（或开集）当且仅当$A$与$X$的每个紧子集$K$的交集$A \cap K$是$K$中的闭集（或开集）。
• $CG_2$：空间$X$由所有从紧Hausdorff空间到$X$的连续映射决定，即：一个子集$A \subseteq X$是闭集当且仅当对任意从紧Hausdorff空间$Z$到$X$的连续映射$f: Z \to X$，原像$f^{-1}(A)$都是$Z$中的闭集。
• $CG_3$：空间$X$与它的所有紧Hausdorff子空间是相容的，即：一个子集$A \subseteq X$是闭集当且仅当$A$与$X$的每个紧Hausdorff子集$K$的交集$A \cap K$是$K$中的闭集。

从定义本身我们可以直接推导得出蕴含关系：
$$CG_3 \implies CG_2 \implies CG_1$$
通过拓扑空间数据库π-Base可以找到大量实例，证明这些蕴含是严格的（即反向推导不成立）。不过存在一个重要特例：如果空间本身是Hausdorff空间，那么这三个定义完全等价，不存在区分。

我们整理这些结论的核心目的，是为π-Base的自动化推理系统提供可复用的拓扑规则——在局部Hausdorff条件（即空间中每个点都存在一个Hausdorff邻域）下，有以下两个关键推导成立：

1. $$\text{局部Hausdorff} + \text{局部紧} \implies CG_3$$
   这里的局部紧指每个点都拥有由紧邻域构成的邻域基；
2. $$\text{局部Hausdorff} + CG_2 \implies CG_3$$

最后需要明确一个边界情况：仅满足局部Hausdorff和$CG_1$的空间，不足以推出它满足$CG_2$，我们可以找到对应的反例来验证这一结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M W