关于平坦主$G$-丛联络矩阵消失性的疑问

背景铺垫 #

先回忆下实向量丛里那个经典的可积性定理：

定理：假设$E$是纤维为$\mathbb{R}^n$的实向量丛，如果$A$是$E$上的平坦联络，那么存在局部平凡化，使得$A$的联络矩阵恒为零。

问题设定 #

现在咱们把目光转向李群$G$的主$G$-丛$P$，$P$上的联络可以这么描述：在每个平凡化$(U_\alpha, \psi_\alpha)$下，对应一个取值在$\text{Lie}(G)$的1-形式$a_\alpha: U_\alpha \rightarrow \text{Lie}(G)$；而且这些1-形式之间满足变换规则：$a_\beta = \tau a_\alpha \tau^{-1} - d\tau \cdot \tau^{-1}$，这里$\tau: U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow G$是两个平凡化之间的转移映射。

命题A的内容 #

假设$(P, a_\alpha)$是上面说的主丛和联络，并且$a_\alpha$是平坦联络（也就是满足$da_\alpha + a_\alpha \wedge a_\alpha \equiv 0$），那么：
对任意$U_\alpha$，要么$a_\alpha$本身就恒为零，要么存在映射$g: \tilde{U}\alpha \rightarrow G$，使得$g a\alpha g^{-1} - dg \cdot g^{-1} \equiv 0$。换成人话讲，就是存在一个$G$-规范变换，能把联络$a$变成零。

核心疑问 #

现在想问的是：命题A到底成立不成立？至少对矩阵群$G$来说成立吗？当然啦，当$G=\text{GL}_n(\mathbb{R})$的时候，这个结论直接就能从上面那个实向量丛的定理推出来。

一些个人思考 #

上面那个实向量丛定理的证明，本质上就是解一个关于函数$g: I \rightarrow M_n(\mathbb{R})$的常微分方程：
$$\frac{dg}{dt} = ga\quad\text{ 初始条件 }g(0)=\text{Id},.$$
这里有个关键点：如果在某个点$t$处我们知道$g(t)\in G$，那方程就意味着$g'(t)\in T_gG \subset T_g(M_n(\mathbb{R}))$——毕竟主$G$-丛的联络矩阵$a$取值始终在$\text{Lie}(G)$里，而$g \cdot \text{Lie}(G)$正好就是$G$在$g$点的切空间$T_gG$。现在的问题就卡在这儿了：就算$g$的切向量一直都在$TG$里面，$g$会不会“跑出去”，从$G$跑到$M_n(\mathbb{R})\setminus G$里去呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mohith Nagaraju