n个人从n双鞋中各取2只，每人均拿到1只左脚鞋和1只右脚鞋的概率求解及思路验证

嗨，我来帮你一步步拆解这个问题，同时验证你的思路是否正确～

先明确问题核心 #

我们有n双鞋（共2n只，n只左脚、n只右脚），n个人每人随机拿2只，求所有人都拿到1左1右的概率。

分析你的第一种思路：补集法（踩坑点提醒） #

你提到用「总情况数 - 所有人都拿同脚鞋的情况数」来算符合要求的情况数，这里有个关键误区：

「没有人拿到1左1右」≠「所有人都拿两只同脚鞋」

实际上，「没有人拿到1左1右」意味着至少有一个人拿了两只同脚鞋，但这种情况的计数非常复杂（比如n=3时，不可能所有人都拿同脚鞋，但存在有人拿两只左脚、另一个人拿剩下的左脚+右脚的情况，这就属于补集里的情况）。所以用补集法反而会把问题变复杂，不如直接计算符合要求的情况数更简单。

不过先确认你的总情况数是对的：
n个人依次拿2只鞋，总情况数是 $\binom{2n}{2} \times \binom{2n-2}{2} \times ... \times \binom{2}{2}$，这个可以化简为 $\frac{(2n)!}{(2!)^n} = \frac{(2n)!}{2^n}$，本质是把2n只鞋分成n组每组2只的分法数，没问题。

验证你的第二种思路：直接计数法（正确！） #

你说「第一个人有n种选右脚、n种选左脚，第二个人n-1×n-1，以此类推得到n!×n!」，这个思路完全正确！

为什么？我们可以把符合要求的选取过程拆成两步：

1. 给n个人每人分配一只左脚鞋：n只不同的左脚鞋分给n个人，有n!种分法；
2. 给n个人每人分配一只右脚鞋：n只不同的右脚鞋分给n个人，同样有n!种分法。

每一种左脚分配+右脚分配的组合，对应一种「所有人都拿到1左1右」的取鞋方式，所以总符合要求的情况数就是 $n! \times n!$。

那概率就是符合要求的情况数除以总情况数：
$$
P = \frac{n! \times n!}{\frac{(2n)!}{2^n}} = \frac{2^n \times (n!)^2}{(2n)!}
$$

举个小例子验证：n=2时，概率是 $\frac{2^2 \times (2!)^2}{4!} = \frac{4×4}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$，和实际枚举的结果一致，没问题。

不用计数的概率递推法（满足你的需求） #

当然可以不用计数，直接用概率逐步推导：

1. 第一个人随便拿第一只鞋（不管左还是右），剩下的2n-1只鞋里，有n只和它相反脚的（比如第一只拿了左脚，剩下n-1只左脚、n只右脚），所以第一个人拿到1左1右的概率是 $\frac{n}{2n-1}$；
2. 第一个人拿完后，剩下2n-2只鞋，其中n-1只左脚、n-1只右脚。第二个人随便拿第一只，剩下的2n-3只鞋里，有n-1只相反脚的，所以第二个人拿到1左1右的概率是 $\frac{n-1}{2n-3}$；
3. 以此类推，第k个人的概率是 $\frac{n - k + 1}{2(n - k + 1) - 1} = \frac{n - k + 1}{2n - 2k + 1}$；

把这些概率相乘，就是总概率：
$$
P = \prod_{k=1}^n \frac{n - k + 1}{2n - 2k + 1} = \frac{n}{2n-1} \times \frac{n-1}{2n-3} \times ... \times \frac{1}{1}
$$

这个结果和之前计数法得到的 $\frac{2^n \times (n!)^2}{(2n)!}$ 是等价的，你可以代入公式化简验证一下～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Salty Champ